Найти уравнение сторон треугольника

[RNT]

Помогите решить задачу.

Найти уравнение сторон треугольника $ABC$, зная $\[A\left( { - 4,2} \right)\]$ и уравнения медиан $\[3x - 2y + 2 = 0\]$, $\[3x + 5y - 12 = 0\]$

Точка $A$ не принадлежит уравнениям медиан, значит медианы исходят из углов $B$ и $C$. Решив систему уравнений, можно найти точку пересечения медиан из углов $B$ и $C$, через эту точку пройдет медиана из угла $A$. Зная две точки, можно найти уравнение медианы $A$ по формуле $\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$. Что делать дальше ? Возможно, уравнение третьей медианы не надо было находить. Я не знаю, что надо делать.

[gris]

Ну почему? На третьей медиане можно найти точку, симметричную вершине $A$ относительно точки пересечения медиан, потом через эту точку провести две прямых, параллельные соответственно...
Впрочем, это смахивает на построение ЦиЛом, а не на линейку.

[RNT]

gris в сообщении #383605 писал(а):

Ну почему? На третьей медиане можно найти точку, симметричную вершине $A$ относительно точки пересечения медиан,

Можно найти координату пересечения медианы и стороны $AB$. Вы это имеете ввиду ?

gris в сообщении #383605 писал(а):

потом через эту точку провести две прямых, параллельные соответственно...

Параллельно сторонам $AB$ и $AC$ ? Уравнения этих сторон неизвестны.

gris в сообщении #383605 писал(а):

Впрочем, это смахивает на построение ЦиЛом, а не на линейку.

Не смог нагуглить что такое ЦиЛом. Я первокурсник. Многого еще не знаю.

Что делать дальше ?

[ewert]

Ну, у Вас уже есть точка пересечения медиан и некий хвостик -- вектор, выходящий из этой точки вдоль третьей медианы и идущий до основания. Направляющие векторы двух первых медиан Вам известны. Вот и найдите такую линейную комбинацию этих этих двух векторов, которая давала бы удвоенный тот самый хвостик. Система из двух уравнений с двумя неизвестными (коэффициентами комбинации).

[RNT]

ewert в сообщении #383625 писал(а):

Вот и найдите такую линейную комбинацию этих этих двух векторов, которая давала бы удвоенный тот самый хвостик. Система из двух уравнений с двумя неизвестными (коэффициентами комбинации).

Вы имеете ввиду найти уравнение третьей медианы ? Ее можно найти по формуле

$$\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$$

[ewert]

Нет.

Я имею в виду, что у Вас есть вполне определённые направляющие векторы первых двух медиан -- $\vec v_1$ и $\vec v_2$.

И есть вполне известный вектор $\overrightarrow{OM}$, соединяющий центр и основание третьей медианы.

Вот и найдите $\alpha$, $\beta$ такие, что $\alpha\vec v_1+\beta\vec v_2=2\,\overrightarrow{OM}$.

А потом прибавьте каждое из полученных слагаемых левой части к центру -- получите две недостающие вершины.

(это, наверное, не оптимально; но зато должно бросаться в глаза)

[Xenia1996]

RNT в сообщении #383615 писал(а):

Не смог нагуглить что такое ЦиЛом

ЦиЛом - Циркулем и Линейкой (я так думаю).

[MrDindows]

Я б нашёл координаты двух остальных вершин из такой системы:
$3x_2+5y_2-12=0$
$3x_3-2y_3+2=0$
$3\frac{(x_1+x_2)}{2}-2\frac{(y_1+y_2)}{2}+2=0$
$3\frac{(x_1+x_3)}{2}+5\frac{(y_1+y_3)}{2}+2=0$

Где $(x_1,y_1)$ - координаты А (даны).
Ну а дальше уравнения медаин уже легко найти.

[gris]

В порядке словоблудия.

Я много решал задач по школьной геометрии, на построения, в частности, поэтому сохраняю школьный подход и в задачах по линейной алгебре. Мне хочется сразу нарисовать чертёж и последовательно выполнять построения, теперь уже в виде уравнений прямых, координат точек. Это не всегда эффективно. Да и не идейно. По-студенчески надо представить себе соотношения в требуемой конструкции, выписать их в координатном виде, а потом, решая системы уравнений, вычисляя определители, находя скалярные и векторные произведения, получить результат.

Я всё же приведу своё решение, но отнюдь не как пример для подражания.
Первый шаг сделал автор. Нашёл точку $O$ пересечения медиан $m_1$ и $m_2$. Находим точку $A'$, которая симметрична точке $A$ относительно $O$, и проводим через неё две прямых $m'_1\parallel m_1$ и $m'_2\parallel m_2$. Пересечения $m'_1\cap m_2$ и $m'_2 \cap m_1$ дадут вершины треугольника.
Можно расписать это в виде последовательного нахождения уравнений прямых в том или ином виде, но мне представляется, что этот путь неэффективен.

Про ЦиЛ сообщила любезная Xenia1996. Я просто представил себе задачу - даны две пересекающиеся прямые, содержащие две медианы треугольника и точка, им не принадлежащая, - вершина оного. Циркулем и линейкой построить треугольник.

[Xenia1996]

gris в сообщении #383746 писал(а):

В порядке словоблудия.


Про ЦиЛ сообщила любезная Xenia1986.

(Спасибо, что сделали меня на 10 лет старше )

[gris]

(for Xenia1996)

Хотя для столь юной особы прибавление даже десятка лет отнюдь не обидно, приношу свои извинения. В своё оправдание замечу, что описка несомненно фрейдистска и даже дважды

[Xenia1996]

gris в сообщении #383769 писал(а):

(for Xenia1996)

Хотя для столь юной особы прибавление даже десятка лет отнюдь не обидно, приношу свои извинения. В своё оправдание замечу, что описка несомненно фрейдистска и даже дважды

(for gris)

Ништяк, бывает. Я тоже иногда описываюсь

[RNT]

Спасибо. Я смог понять способ, который предложил MrDindows

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #383644 писал(а):

RNT в сообщении #383615 писал(а):

Не смог нагуглить что такое ЦиЛом

ЦиЛом - Циркулем и Линейкой (я так думаю).

(И ещё я думаю, что красивее было бы по-другому сократить: не "ЦиЛом", а "ЦиЛкой" )