Элементарные решения неэлементарных задач

[caxap]

Читая "Математическое понимание природы" В. Арнольда наткнулся на очень красивое и простое решение задачи Бюффона. Обычно её решают через интегральчик. Но, по-видимому, в любой задаче есть окольный путь

Сама задача, если кто не знает. Имеется большой лист бумаги, разлиновынный параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 1. Имеется также иголка длины 1. Бросаем случайным образом иглу и смотрим, пересекла ли она какую-нибудь линию. Нужно найти, к чему стремится отношение $M/N$ числа опытов, когда игла пересекает линию к общему числу опытов, при $N\to\infty$.

Решение. Возьмём иглу длины 2. Она даст вдвое большее число пересечений. Но нет необходимости, чтобы она была прямой. Её можно изогнуть в виде кочерги (в средней точке) -- обе половины дадут прежнее число пересечений, а вместо -- вдвое большее. Следуя той же мысли, понятно, что можно взять любую кривую иглу длины $\ell$ и мы получим при $N\to \infty$ асимптотически $\mathrm{const}\cdot \ell N$ точек пересечения. Будем, в частности, бросать окружность диаметра 1 (длина её $\ell=\pi$). Но такая окржность всегда будет давать две точки пересечения, так что $\mathrm{const} \cdot \pi N=2N$, откуда $\mathrm{const}=2/\pi$. Это и есть искомый предел.

(Оффтоп)

Аналогичным макаром можно показать, что средняя площадь проекции не зависит от формы проектируемого выпуклого тела, а зависит только от площади поверхности.

Кто-нибудь знает ещё примеры подобных элементарных решений (неэлементарных) задач?

[Alexu007]

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5; for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a, f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

Вот эта простенькая программка вычисляет 800 знаков $Pi$ за доли секунды, вот тут я уже писал об этом: post296054.html

[caxap]

Alexu007
Ну я немного не то имел в виду.

caxap в сообщении #377630 писал(а):

красивое и простое решение

---------------
Вспомнилось ещё одно рассуждение, которое я прочел в детстве в какой-то энциклопедии по астрономии.
Собственно вопрос: почему кольца Сатурна имеют вид очень тонкого (по сравнению с шириной) диска? (Да и вообще, спутники планет и сами планеты вращаются преимущественно вдоль некоторой плоскости.)

Я ребёнком долго думал, но так и не сообразил почему. А потом прочитал решение (которое меня тогда впечатлило своей простотой): гравитационные силы стремятся сжать систему камешков со всех сторон, а центробежные силы препятствуют сжатию системы поперёк оси вращения и не мешают сплющиванию вдоль оси. Вот и всё.

---------------
Лично меня всегда интересовали подобные решения (когда сложные (и не очень) задачи решаются почти без формул, на пальцах). Был бы очень признателен, если опубликуете в этой теме что-нибудь такое.

[Alexu007]

Пожалуйста. Чтобу получить идеальный прямой угол, строителями используется уловка "3-4-5". На веревке завязываются узлы через 3, 4 и 5 одинаковых отрезков. Если теперь из этой верёвки натянуть треугольник с узлами в вершинах - мы получим прямоугольный треугольник. Ибо - квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

[vek88]

caxap в сообщении #377630 писал(а):

Читая "Математическое понимание природы" В. Арнольда наткнулся на очень красивое и простое решение задачи Бюффона.

Я наткнулся на Задачу Бюффона в Курсе теории вероятностей Гнеденко 1954 г. издания. Мы - несколько студентов МФТИ - даже однажды вечером стали в аудитории проверять решение - расчертили пол мелом и бросали карандаш.

Alexu007 в сообщении #378411 писал(а):

Чтобу получить идеальный прямой угол, строителями используется уловка "3-4-5".

Я не мудрил с узлами - завязать их точно очень не просто. И натягивать веревку одному сложно. И веревка растягивается.

Я просто ставил на катетах метки по 1 метру и рулеткой отмерял гипотенузу 1,41 м - точность достаточна для линий порядка 3-4 м. Для более длинных надо брать более длинные метки на катетах.

[Alexu007]

vek88 в сообщении #378421 писал(а):

Я не мудрил с узлами - завязать их точно очень не просто. И натягивать веревку одному сложно. Я просто ставил на катетах метки по 1 метру и рулеткой отмерял гипотенузу 1,41 м - точность достаточна для линий порядка 3-4 м.

Про "3-4-5" впервые услышал мой приятель от узбекских строителей. Ему нужно было построить прямоугольный фундамент, а посередине уже что-то было, измерить диагонали рулеткой не получалось. Он переживал за прямоугольность постройки и невозможность проверки, но вроде на глаз получилось o'key. Тогда строители его и успокоили, сказав, что всё ровно и что они меряли 3-4-5. Сомневаюсь, что они знали про квадраты катетов, гипотенуз и т.п.

[caxap]

(Оффтоп)

Alexu007
Ну... опять вы меня не поняли. Про египетский треугольник каждый школьник знает, как и теорему Пифагора. Что тут интересного?

caxap в сообщении #377630 писал(а):

Элементарные решения неэлементарных задач

По-моему, я один нахожу красоту в таких решениях. Одиноко... А хотя нет, ещё Фейнман часто ими балуется в ФЛФ. Ведь, согласитесь, скажем, арнольдовское решение задачи Бюффона понятно даже школьнику, что куда лучше приплетения всяких интегралов и других методов ВМ.

[arseniiv]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #378427 писал(а):

По-моему, я один нахожу красоту в таких решениях. Одиноко... А хотя нет, ещё Фейнман часто ими балуется в ФЛФ. Ведь, согласитесь, скажем, арнольдовское решение задачи Бюффона понятно даже школьнику, что куда лучше приплетения всяких интегралов и других методов ВМ.

Мне тоже нравится, но я ничего не вспомню похожего.

[Munin]

caxap в сообщении #378355 писал(а):

Вспомнилось ещё одно рассуждение, которое я прочел в детстве в какой-то энциклопедии по астрономии.Собственно вопрос: почему кольца Сатурна имеют вид очень тонкого (по сравнению с шириной) диска? (Да и вообще, спутники планет и сами планеты вращаются преимущественно вдоль некоторой плоскости.)

Я ребёнком долго думал, но так и не сообразил почему. А потом прочитал решение (которое меня тогда впечатлило своей простотой): гравитационные силы стремятся сжать систему камешков со всех сторон, а центробежные силы препятствуют сжатию системы поперёк оси вращения и не мешают сплющиванию вдоль оси. Вот и всё.

Как во многих случаях, решение простое, привлекательное и неверное. Например, на планету центробежная сила действует только в плоскости её собственной орбиты. Реальное решение лежит в аккуратном учёте гравитационных возмущений и рассмотрении поведения системы многих тел. Результат превосходит изначально поставленную задачу: с учётом теории хаоса получается, что орбиты должны не только лежать в одной плоскости, но и быть круглыми, а подсистемы - иерархически организованными (звезда - планеты - спутники, или тесная пара звёзд - дальние тела). Другие варианты неустойчивы, а этот, хоть и не стационарен, живёт сравнительно стабильно.

[caxap]

Munin в сообщении #383425 писал(а):

Как во многих случаях, решение простое, привлекательное и неверное.

Мм... А почему неверно? Вот, предположим, имеется два спутника (левый рисунок).



Они гравитационно притягиваются, поэтому их плоскости орбиты тоже сближаются, пока не сравняются (правый рисунок).

Вот только далее я не совсем понимаю: далёкий спутник обладает бОльшей энергией, поэтому вращается дальше, чем близкий. Но разве гравитация не должна их сближать друг к дружке (отнимая энергию у дальнего спутника и отдавая её ближнему)? Что-то мешает, но что?

[Munin]

caxap в сообщении #383458 писал(а):

Они гравитационно притягиваются, поэтому их плоскости орбиты тоже сближаются, пока не сравняются (правый рисунок).

Нет. Они гравитационно притягиваются, поэтому их орбиты возмущают друг друга. Это возмущение проявляется в:

• плоскостях орбит;
• эксцентриситетах орбит:
• больших полуосях орбит (aka "радиусах").

Результаты бывают самые разные. Примерно половина сценариев (не по какой-то мере, а по загибанию пальцев) заканчивается тем, что одно из тел вылетает из системы. Тела могут разойтись на сильно разные расстояния от центрального тела, после чего перестают существенно друг на друга влиять. Тела могут войти в резонанс. Могут быть ещё какие-то фокусы (вплоть до подковообразных орбит). Так что тут бабушка на все четыре стороны сказала.

caxap в сообщении #383458 писал(а):

Что-то мешает, но что?

То, что гравитация между телами, движущимися по орбите - это совсем не то же самое, что гравитация между телами, висящими в заданных точках в пространстве. Она вообще не имеет характера притяжения. Она имеет характер серии точечных ударов (возмущений при сближении тел), а эта серия может давать самые разные результаты в зависимости от того, как расположена по орбите и по периоду обращения.

-- 04.12.2010 16:26:01 --

P. S. На самом деле, рассуждения про гравитацию и центробежную силу справедливы, но для облака вязкого газа (уже для облака гравитационно притягивающихся точек - нет). Таким образом формируются плоские диски галактик, и видимо, плоские протопланетные газопылевые диски вокруг зарождающихся звёзд. А вот для отсутствия вязкости уже хаотическая динамика многих тел, в которой огромную роль играют резонансы (именно они "пасут" пояс Астероидов, и видимо, сформировали кольца у планет-гигантов; возможно, уходом от резонансов обусловлены соотношения орбит больших планет, приближённые правилом Тициуса-Боде).

[caxap]

Munin
Интересно. А где можно подробней об этом почитать?

[Munin]

Я этого как-то обрывочно нахватался, к тому же, боюсь, сейчас эта вся теория в процессе такого бурного строительства, что в книги не кристаллизуется и не откладывается. Ну вот, например, здесь http://www.astro.spbu.ru/astro2006/review.htm доклад Шевченко (есть и в PDF).