Цепь Маркова, подпоследовательность

[Mandel]

Подскажите решение задачи: если последовательность случ. величин образует цепь Маркова,то любая ее подпоследовательность также будет цепью Маркова.

[PAV]

Напишите определение цепи Маркова и свои соображения.

[Mandel]

Пусть на вероятностном пространстве $\left( {\Delta ,F,P} \right)$ заданы $\left\{ {\xi _i } \right\}_{i = 0}^n $,где
$\xi_i$-случайная величина,принимающая значения во множестве $X = \left\{ {x_1 , \ldots ,x_N } \right\}$
Тогда последовательность образует цепь Маркова,если

$$ P\left( {\xi _n = i_n |\xi _0 = i_0 , \ldots ,\xi _k = i_k } \right) = P\left( {\xi _n = i_n |\xi _k = i_k } \right)\,\forall k < n $$

при $P\left( {\xi _k = i_k , \ldots ,\xi _0 = i_0 } \right) > 0$,$i_j \in X$.Вот.
Наверно,формулировку условия задачи можно переформулировать так?
Пусть $\left\{ {\xi _{n_j } } \right\}_{j = 0}^k $-подпоследовательность.Надо доказать,что

$$ P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} |\xi _{n_1 } = i_{n_1 } , \ldots ,\xi _{n_k } = i_{n_k } } \right) = P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} |\xi _{n_s } = i_{n_s } } \right), $$

где $n_s = \mathop {\max }\limits_i \left\{ {n_i } \right\}$
Далее не знаю как двигаться.

Добавлено спустя 2 часа 31 минуту 18 секунд:

Как же все-таки доказать?

[Юстас]

В общем, есть 2 пути решения: можно просто с помощью одной леммы, знание которой скорее всего в Вашем случае не подразумевается, и второй путь - использовать определение и формулу полной вероятности. Запишите интересующую вас вероятность

$$ P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} |\xi _{n_1 } = i_{n_1 } , \ldots ,\xi _{n_k } = i_{n_k } } \right) = P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} |\xi _{n_s } = i_{n_s } } \right), $$

по формуле полной вероятности, использовав формулу $P(A\bigcap B|C)=P(A|B\bigcap C)P(B|C)$. В качестве разбиения вероятностного пространства используйте всевозможные события вида $P\left( {\xi _{n_s} = i_{n_s} ,{\xi _{n_s-1} = i_{n_s-1} \ldots ,\xi _{n_{s-1}-1 } = i_{n_{s-1}-1 } } \right)$. Тогда можно будет воспользоваться определением цепи Маркова и свернуть полученную сумму в то, что нужно. Немного терпения - и всё получится.

[Mandel]

По определению условной вероятности

$$ P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} |\xi _{n_1 } = i_{n_1 } , \ldots ,\xi _{n_k } = i_{n_k } } \right) = \frac{{P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} ,\xi _{n_1 } = i_{n_1 } , \ldots ,\xi _{n_k } = i_{n_k } } \right)}}{{P\left( {\xi _{n_1 } = i_{n_1 } , \ldots ,\xi _{n_k } = i_{n_k } } \right)}} $$

Если бы случ.величины были независимы,то по-моему задача решалась в 2 строчки.А так:не знаю.И где здесь применить Вашу формулу.Да и про разбиение я не понял.

[Mandel]

Что дальше можно сделать?!

[Dan_Te]

Замечание за подъем темы.

Задача решается в две строчки и без предположения независимости.
Юстас написал (условную) формулу полной вероятности. А вы пишете определение условной вероятности. Сделайте так, как пишет Юстас.

[Mandel]

Dan_Te формулу,которую написал Юстас никак к моей формуле

$$ P\left( {\xi _{n_s + 1} = i_{n_s + 1} |\xi _{n_1 } = i_{n_1 } , \ldots ,\xi _{n_k } = i_{n_k } } \right) $$

не "приткнешь"!.

[PAV]

Попробуйте использовать следующий ход рассуждений. Для простоты рекомендую использовать не произвольные индексы и количества переменных, а фиксированные.

1. Докажите, что из определения марковской цепи можно из условной части выкинуть некоторые промежуточные переменные. Пример: $P(\xi_5=i_5|\xi_4=i_4,\xi_1=i_1) = P(\xi_5=i_5|\xi_4=i_4)$. В общем виде: $P(\xi_{n+1}=i_{n+1}|\xi_n=i_n,\ldots) = P(\xi_{n+1}=i_{n+1}|\xi_n=i_n)$.


2. Докажите, что в левой части можно добавить (без пропусков) произвольное число переменных. Пример:

$$P(\xi_7=i_7,\xi_6=i_6,\xi_5=i_5|\xi_4=i_4,\xi_1=i_1)=P(\xi_7=i_7,\xi_6=i_6,\xi_5=i_5|\xi_4=i_4)$$

При этом будет использован предыдущий пункт, так как в условной части есть пропуски.


3. Теперь можно применить формулу полной вероятности, чтобы доказать то, что нам надо. Пример: хотим получить, что $P(\xi_7=i_7|\xi_4=i_4,\xi_1=i_1)=P(\xi_7=i_7|\xi_4=i_4)$. Условную часть не трогаем, добавляем в качестве разбиения пространства все возможные значения, которые может принимать пропущенная пара $(\xi_6,\xi_5)$. Это будет выглядеть так:

$$ P(\xi_7=i_7|\xi_4=i_4,\xi_1=i_1)=\sum_{(i_6,i_5)}P(\xi_7=i_7,\xi_6=i_6,\xi_5=i_5|\xi_4=i_4,\xi_1=i_1) $$

Теперь осталось применить пункт 2 к каждому слагаемому, чтобы убрать лишние переменные из условной части, далее обратно собираем по формуле полной вероятности.

Добавлено спустя 7 минут 33 секунды:

Поправил заголовок темы, сделав его чуть более информативным

[Mandel]

Цитата:

Это будет выглядеть так:... $\sum\limits_{\left( {i_6 ,i_5 } \right)} \ldots $

Что эта сумма означает?Где в ней те самые слагаемые?Если будет пропущено 3 элемента,то сумма будет такая?
$\sum\limits_{\left( {i_6 ,i_5,i_4} \right)} \ldots $
Я знаю такую формулу полной вероятности:

$$ P(A) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {P(A|H_i ) \cdot P(H_i )} , $$

где
$H_i$-гипотезы.

[PAV]

Ну да, то, что я написал - не совсем классическая формула полной вероятности, а вот что:

$$ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A\cap H_i) $$

Поскольку это фактически одно и то же, то я обычно называю их обе термином "полная вероятность".

Смысл такой, что мне нужно получить выражение, в котором переменные шли бы без пропусков:

$$P(\xi_{n+k}=i_{n+k},\ldots,\xi_{n+1}=i_{n+1}|\xi_n=i_n,\ldots)$$

пропуски возможны только в условной части, но старшая переменная в ней должна строго предшествовать последнему члену до черты.

[Mandel]

ну вот смотрите для такого примера:

$$ P\left( {\xi _7 = i_7 |\xi _3 = i_3 ,\xi _2 = i_2 } \right)\mathop = \limits^? P\left( {\xi _7 = i_7 |\xi _3 = i_3 } \right) $$

1)

$$ P\left( {\xi _7 = i_7 |\xi _3 = i_3 ,\xi _2 = i_2 } \right) = \sum\limits_{k = 7 - 3}^{7 - 1} {P\left( {\xi _7 = i_7 ,\xi _k = i_k |\xi _3 = i_3 ,\xi _2 = i_2 } \right)} $$

Так?А где дальше пункт 2 применять?

[PAV]

Нет, не так. Нам нужно разбить все пространство на непересекающиеся куски. У нас не хватает величин с номерами 6,5,4 до того, чтобы применить пункт 2. Соответственно, пространство будет разбито на куски $H$, на каждом из которых эти три величины будут принимать определенные значения. Т.е. будет

$$ P(\xi_7=i_7|\xi_3=i_3,\xi_2=i_2) = \sum_{(i_6,i_5,i_4)}P(\xi_7=i_7,\xi_6=i_6,\xi_5=i_5,\xi_4=i_4|\xi_3=i_3,\xi_2=i_2) $$

[Mandel]

А сколько таких кусков H будет?

[PAV]

Столько, сколько существует троек $(i_6,i_5,i_4)$. Эти тройки нумеруют элементы разбиения.

Добавлено спустя 2 минуты:

Иными словами, мы берем в качестве $A$ событие $\{\xi_7=i_7\}$, а в качестве элементов разбиения $H_{(i_6,i_5,i_4)}=\{\xi_6=i_6,\xi_5=i_5,\xi_4=i_4\}$