к задаче оптимального управления

[cupuyc]

Я читал в литературе по ТАУ, что принцип максимума Понтрягина является "чуть ли не единственным методом решения задач, в которых ограничение на управляющее воздействие задано в виде неравенства". Но почему единственным? Вот пришла в голову такая мысль. Пусть есть задача оптимального управления, заданная уравнениями динамики, некоторым функционалом и условиями на границе (по сути дела, задача Лагранжа):

(1):
$x_i' = f_i(\vec{x}, \vec{u}, t)$ (штрихом обозначается дифференцирование по времени).
$x_i(t_0) = x_i^0, x_i(t_f) = x_i^f$
$J = \int_{t_0}^{t_f} f_0(\vec{x}, \vec{u}, t)dt \to \min$

Решается такая задача, как известно, методом неопределённых множителей Лагранжа (более подробное описание этого метода можно найти в любом учебнике по ТАУ, н-р Ким Д.П.: Теория автоматического управления. Том 2.). Составляется новый функционал c подынтегральной функцией, в качестве которой выступает функция Лагранжа:

$L = \psi_0 f_0 + \sum_{i=1}^{n}{\psi_i(f_i - x_i')}$

И, соответственно, решение данной задачи:

(2):
$\frac{d}{dt} L_{x_i'}' - L_{x_i}' = 0$
$L_{u_i}' = 0$

Теперь к моей идее. Пусть помимо условий (1) задано ограничение на управление в виде включения:
$u \in [u1, u2]$

Изменим исходный функционал, добавив к подынтегральному выражению некоторую функцию, например, такую:
$g(u) = {\frac {\alpha}{1+{{\rm e}^{-\alpha\, \left( u-{\it u2} \right) }}}}+{\frac {\alpha}{1+{{\rm e}^{\alpha\, \left( u-{\it u1} \right) }}}}$

Функция Лагранжа будет выглядеть так:

$L = \psi_0 f_0 + \sum_{i=1}^{n}{\psi_i(f_i - x_i')} + g(u)$

Получаем решение (2) для данной функции Лагранжа, затем устремляем параметр $\alpha$ к бесконечности. Понятно, что если управление $u$ будет выходить за область, то это будет давать большой вклад в значение функционала, который мы должны минимизировать.

Какие есть соображения по такому методу решения? Или я в чём-то ошибаюсь?

[sup]

То, что Вы написали, называется "метод штрафа" (ну или "вариации на тему").
Какие проблемы?
Да, в общем, как всегда. Надо:
1. Доказать сходимость решений при $\alpha \to \infty$.
2. Доказать, что предельная функция является решением исходной задачи.
А так все в порядке.

[cupuyc]

То есть принцип максимума Понтрягина - далеко не единственный метод решения задач подобного типа?

[sup]

Не рискну утверждать, что такой подход применяется для практических целей. Но вообще то, метод штрафа вполне уважаемый метод
при исследовании вариационных неравенств. Да вроде и в теории оптимального управления. По этому поводу вспоминаются труды Лионса.

[V.V.]

cupuyc, нет, ПМП - не единственный метод решения задач с ограничениями на управление. Метод функций Кротова также ботерся с ограничениями. Кроме того, для практических целей пользуются различными численными методами, не всегда использующими ПМП. Всё зависит от конкретной задачи.

[moscwicz]

cupuyc в сообщении #382649 писал(а):

(1):
$x_i' = f_i(\vec{x}, \vec{u}, t)$ (штрихом обозначается дифференцирование по времени).
$x_i(t_0) = x_i^0, x_i(t_f) = x_i^f$

Такая задача вообще не решается. Условие $x_i(t_0) = x_i^0$ гарантирует единственность решения, по неизвестной, очевидно Вам, теореме Коши. Поэтому условие $x_i(t_f) = x_i^f$, вообще говоря, делает задачу неразрешимой.

[V.V.]

moscwicz, мы можем варьировать $u$, поэтому с постановкой задачи все в порядке.