помогите найти (плотность функции от случайной величины)

[chaz1]

Случайная величина Х имеет плотность вероятности W(x)=exp(-3|x|). Найти плотность вероятности и математическое ожидание величины Y=3x

$$\x^2$$

У меня что-то не получилось.

[PAV]

Выразите функцию распределения с.в. Y через ф.р.с.в. X.

$P\{Y<t\}=P\{3X^2<t\}=...$

[chaz1]

PAV если не сложно напиши, пожалуйста, ход решения. Я пытаюсь решить через плотность вероятности.
Хочется проверить получится ли у нас общий ответ.

[незваный гость]

Почему бы Вам не написать свое решение? Если у Вас в решение будут проблемы или сомнительные места - Вам всегда будут рады помочь...

[незваный гость]

chaz1 писал(а):

Случайная величина Х имеет плотность вероятности W(x)=exp(-3|x|). Найти плотность вероятности и математическое ожидание величины Y=3x

$$\x^2$$

У меня что-то не получилось.

А знаете, я чего-то наверное совсем забыл. Я всегда считал, что интеграл плотности вероятности по всей области значений случайной величины должен быть равен $1$. А $\int\limits_{-\infty}^{\infty}W(x){\rm d}x = 2/3$. Совсем я обкурился, а?

[Capella]

Похоже не обкурился, а просто забыл нормирующую константу с

[незваный гость]

&#968;&#965;& писал(а):

просто забыл нормирующую константу с

Я-то по душевной простоте считал, что ее принято указывать в задании плотности. Это не так?

[chaz1]

Решал через пл.вероятности и вот что получилось: $y=3x^2$$ $x=\sqrt \frac {y}{3}$
$\omega$(x)=exp(-3\sqrt \frac {y}{3}$)=exp(-\sqrt{y}{3}$) $m=$\int\limits_0^\infty y exp(-\sqrt{y}{3}$)dy ; $t>0$; $\sqrt {y}{3}=t; $y=\frac {t^2}{3}$; $m=$\int\limits_0^\infty \frac {t^2}{3} $\left \frac {2}{3}$$exp(-t)dt= \frac {1}{3}$\int\limits_0^\infty t^3$exp(-t)dt=$\left \frac {1}{3} [-$\int\limits_0^\infty t^3dexp(-t)]=........=-2[-$\int\limits_0^\infty exp(-t)dt]=-2;
получаем что My=$\frac {4}{3}$
Первый раз записал выражение через теги, так что просьба строго не судить если что не так, а исправить ошибку.

[незваный гость]

Боюсь, Вы не вполне корректны. Ваше предположение, что если протность $\xi$ равна $p(x)$, то плотность $f(\xi)$ равна $p(f(x))$ неверно. Поэтому решать через плотность нельзя.

Нужно идти накатаным PAV путем - через распределение вероятностей. Попробуйте - у Вас должно получиться.

И еще. При вычислении мат.ожидания Вы где-то запутались в знаках. По крайней мере, у Вас интеграл от положительной функции суть число отрицательное.

~~~
Вы пишите (несколько раз) \sqrt{y}{3}. Правильно \sqrt{3 y} (т.е. \sqrt действует только на один объект после корня. Скорее всего, Вы просто не очень внимательно скопировали с \frac.

Еще один непрошенный совет - удобно формулы разбивать на равенствах. Вместо

[math]$e1 = e2 = e3 = e4$[/math]

писать

[math]$e1 =$[/math] [math]$e2 =$[/math] [math]$e3 =$[/math] [math]$e4$[/math]

. Так, конечно, более громоздко, но форматируется правильнее. Да и читать удобнее.
Ваше выражение $m=$\int\limits_0^\infty \frac {t^2}{3} $\left \frac {2}{3}$$exp(-t)dt= \frac {1}{3}$\int\limits_0^\infty t^3$exp(-t)dt=$\left \frac {1}{3} [-$\int\limits_0^\infty t^3dexp(-t)]=........=-2[-$\int\limits_0^\infty exp(-t)dt]=-2$
превратиться в $m=$ $\int\limits_0^\infty \frac {t^2}{3} $\left \frac {2}{3}$$exp(-t)dt= $ $\frac {1}{3}$\int\limits_0^\infty t^3$exp(-t)dt=$ $\left \frac {1}{3} [-$\int\limits_0^\infty t^3dexp(-t)]=$ $........=$ $-2[-$\int\limits_0^\infty exp(-t)dt]=$ $-2$, которое, к тому же, правильно переносится со строчки на строчку.

Ладно, еще один "секрет". Если Вы не понимаете, как кто-то сделал понравившееся Вам форматирование или формулу, можно посмотреть исходный текст нажав на кнопку "цитата".

[Dan_Te]

Цитата:

Ладно, еще один "секрет". Если Вы не понимаете, как кто-то сделал понравившееся Вам форматирование или формулу, можно посмотреть исходный текст нажав на кнопку "цитата".

А сравнительно недавно прикрученная фича позволяет просто навести курсор на формулу и увидеть ее ТеХ-код.

[незваный гость]

Dan_Te писал(а):

А сравнительно недавно прикрученная фича позволяет просто навести курсор на формулу и увидеть ее ТеХ-код.

В Internet Explorer'е. В Firefox приходиться смотреть свойства картинки.

2 chaz1: мне не понятно еще одно место у Вас в решении:

chaz1 писал(а):

... $m=$ ... $=2$; получаем что $My=\frac{4}{3}$

Я предполагал, что $m$ - мат.ожидание, по Вашему вычислению выходит, что нет. Но если нет, откуда взялись $\frac{2}{3}$, на которые Вы умножаете?

[chaz1]

спасибо за замечания. в дальнейшем учтем. надеюсь что получил правильный ответ мат. ожидания =4/27

[незваный гость]

Боюсь, опять не верно. Может, покажете, как получилось?

[chaz1]

обязательно напишу ход решений, но немного поздней.....
а у кого есть свои ответы то, пожалуйста, напишите их.

[vsufiy]

Прошу прощения за повтор. Не сочтите за флуд. Впервые использую математические теги. Предыдущее сообщение следует читать в виде:

Математическое ожидание случайной величины $Y=3X^2$ равно $MY=\frac{2}{3}$,
Здесь $X$ - случайная величина с плотностью $f_X(x)=\frac{3}{2}e^{-3|x|}$.

Плотность распределения вероятностей случайной величины $Y$:
$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{3y}}e^{-\sqrt{3y}}$ при $y>0$
и $f_Y(y)=0$ при $y\leq 0$.

Достаточно было внимательно посмотреть любой учебник по теории вероятностей, главу: "функциональное преобразование непрерывной случайной величины"

---
Предыдущее сообщение удаляю. Свои сообщения можно редактировать. (dm)