Несобственный интеграл

[nevero]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться со следующим вопросом.

Есть несобственный интеграл: $\int_{0}^{1}\cos(\frac{1}{\sqrt x}-1) \frac{dx}{x^k}$.

Я доказал, что он абсолютно сходится при $k < 1$, просто сходится при $1 \le k < \frac{3}{2}$ и расходится при $k \ge \frac{3}{2}$.

Но я не могу доказать, что при $1 \le k < \frac{3}{2}$ интеграл абсолютно расходится. Помогите пожалуйста.

[Someone]

Сделайте замену переменной $\frac 1{\sqrt{x}}-1=t$. Получится интеграл известного типа.
При доказательстве "абсолютной" расходимости (это не общепринятый термин) можно использовать неравенство $2|\cos t|\geqslant 2\cos^2t=1+\cos 2t$.

[nevero]

С этим примером вроде стало понятно.

-- Ср дек 01, 2010 21:43:40 --

Помогите пожалуйста разобраться с этим интегралом:

$\int_{0}^{1}x^k \tg \sin \frac{1}{x}dx$.

У меня получилось доказать, что при $k > -1$ интеграл сходится абсолютно.
Но доказать, что при $k \le -1$ интеграл просто расходится я не могу...

[ИСН]

У Вас не рябит в глазах от поведения этой штуки? Переверните и рассматривайте на бесконечности, так гораздо удобнее.

-- Ср, 2010-12-01, 22:10 --

И сразу станет ясно, что имеется область условной судимости сходимости...

[nevero]

Если перевернуть, то получится:
$\int_{0}^{1}x^k \tg \sin \frac{1}{x}dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\tg \sin t}{t^{k+2}}dt$
Тем не менее я не вижу как действовать дальше, так как теже средства, которые я использовал раньше, также ни к чему не приводят...

[ИСН]

Ага. Теперь так: если бы там не было tg, то всё ли понятно?

[nevero]

ИСН в сообщении #382540 писал(а):

Ага. Теперь так: если бы там не было tg, то всё ли понятно?

Без $\tg$ всё хорошо получается: при $k > -1$ сходится абсолютно, при $-2 < k \le -1$ сходится условно, при $k \le -2$ расходится.

Но с $\tg$ не получается доказать ограниченность множества первообразных от $\tg \sin t$. И, как следствие, использовать признак Дирихле и отрицание критерия Коши...

[ИСН]

Ну так и поверьте, что tg совершенно ничего не меняет. Правда, как это выразить в Ваших терминах, я сразу не соображу.

[nevero]

ИСН в сообщении #382586 писал(а):

Ну так и поверьте, что tg совершенно ничего не меняет.

Тем не менее не понятно что делать дальше и как воспользоваться этим фактом...

[ИСН]

Ну как Вы без тангенса делали? Что такое "ограниченность множества первообразных"?

[nevero]

ИСН в сообщении #382601 писал(а):

Что такое "ограниченность множества первообразных"?

Из признака Дирихле надо доказать, что существует такое $c$, что $|\int_{1}^{+\infty}\tg( \sin t)dt| < c$ для любого $t$.

[ИСН]

Ну (что-то я стал часто начинать речь с "Ну") дак интеграл по периоду-то от него известен, нет?

[nevero]

ИСН в сообщении #382614 писал(а):

интеграл по периоду-то от него известен, нет?

Да? Что-то не соображу по какому периоду и что это значит...

[ИСН]

Функция под интегралом периодическая? То больше, то меньше нуля? Нечётная? Ну?

[nevero]

Смысл утверждения теперь понятен и общая логика "игры" тоже. Разбить на периоды, которые сократятся друг с другом понятно по идее, но формально как записать.... непонятно мне. Первообразную всё равно не возьмёшь.