Термех. Формула Бине.

[SakumaRei]

Здравствуйте, не могли бы вы помочь?
Собственно, интересует задача из Мещерского за номером 28.18. Я приведу текст.
Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1м сила равна 1Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2м., скорость $v_0$=0.5 м/с и составляет угол 45 гр. с направлением прямой, проведенной из центра к точке
Я записал формулу Бине.
$F=-\frac{mc^2}{r^2}(\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u)$
где $u=\frac{1}{r}$
дальше, нашел, что c - секториальная скорость, равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Из начальных условий: $F=\frac{k}{r^3}$
Подставляем данные, получаем, что $k=1$
Дальше я решаю дифференциальное уравнение по формуле Бине. У меня оно получилось такое:
$u=\frac{d^2u}{d\varphi^2}$
в общем, решая его, я получил, что $\varphi=ln(C_2*|u+\sqrt{u^2+C_1^2}|)$
ответ в учебнике $r=2e^{\varphi}$
Скажите пожалуйста, что я делаю не так и если делаю так, то как найти константы?

[Андрей123]

Общее решение данного ДУ :$u=\frac{d^2u}{d\varphi^2}$,- есть $C_1 e^{-\varphi}+C_2 e^{\varphi}$. Из начальных условий:$u(0)=\frac{1}{2}, u'(0)=-\frac{1}{2}$( последнее условие получается из того факта, что $\frac{dr}{d\varphi}=\frac{\dot r}{\dot \varphi}, v_r=\dot r, v_{\varphi}=r \dot \varphi$), находим $C_1=\frac{1}{2},C_2=0$ и получаем ответ.

[SakumaRei]

Благодарю, а можете еще поподробнее про начальные условия, вернее как они получились? Ведь изначальный $\varphi=\pi/4$, а не 0?

[Андрей123]

Вы запутались. $\varphi$ - это угол в полярной системе координат( его всегда можно отсчитывать от нуля), а $\frac{\pi}{4}$ - это угол между скоростью и радиус-вектором, используя который, находим компоненты радиальной и угловой скоростей в начальный момент.

[SakumaRei]

Да, как-то не сообразил. Спасибо.
Только я всё таки не совсем разобрался с условием про$-\frac{1}{2}$. Можете объяснить тупому программисту, почему это так?

[Андрей123]

Для $(1/r)'=-1/r^2 r' = -1/r v_r/v_{\varphi}$. Дальше все просто. Извините за формулы - спешу.

[SakumaRei]

Всё, понял, огромное вам спасибо.