Какую силу натяжения должна выдерживать нить?

[Ginsbur]

Какую силу натяжения должна выдерживать нить, чтобы на ней можно было вращать шарик массой m в вертикальной плоскости?
Самое сильно натяжение нить испытывает в нижней точки окружности когда на нее действует только сила тяжести равная mg. Значит максимальная сила натяжения котору должна испытывать нить тоже равна mg. Но правильный ответ 6mg.

[EtCetera]

Ginsbur в сообщении #382177 писал(а):

в нижней точки окружности когда на нее действует только сила тяжести равная mg

Вот это очень спорный момент. Все-таки шарик еще и вращается. А, потому, равнодействующая всех сил, приложенных к шарику, всегда будет равна центростремительной силе.
Для решения этой задаче нужно просто аккуратно расписать второй закон Ньютона для шарика в верхней и нижней точках траектории его движения и закон сохранения энергии. Искомая величина легко выражается из полученных трех уравнений.

[Munin]

Если мы завращаем шарик, и будем постепенно снижать его скорость, то состояние "мы вращаем шарик на нитке" прекратится в тот момент, когда:
1. шарик в верхней точке не будет натягивать нитку вообще, то есть, его центростремительное ускорение будет целиком обеспечиваться силой тяжести.
Но этого недостаточно. У шарика есть ещё какая-то горизонтальная скорость, то есть отпущенный из верхней точки в свободный полёт, он бы двигался по параболе. Нитка - не жёсткий стержень, поэтому шарик может так и отправиться по параболе, если нитка не натянута. Чтобы он этого не мог сделать, парабола, по которой он хочет лететь, должна проходить выше окружности, по которой его заставляет двигаться нитка. Вершина параболы фиксирована, значит, это условие оговаривает, что:
2. горизонтальная скорость шарика в верхней точке должна быть такой, чтобы радиус кривизны параболы свободного падения был больше, чем длина нитки.

Итого, получаем два условия, которые позволяют найти скорость шарика в верхней точке, отсюда сразу энергию, скорость шарика в нижней точке, и силу натяжения нитки в нижней точке.

Если с радиусами кривизны не известно как работать, можно вместо этого приблизить окружность параболой, взяв $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}\approx 1-\frac{1}{2}\sin^2\varphi$ при малых $\sin\varphi.$

[EtCetera]

Munin
К чему тут радиус кривизны? Если уж на то пошло, условие корректности ситуации выцепляется из

Munin в сообщении #382208 писал(а):

парабола, по которой он хочет лететь, должна проходить выше окружности, по которой его заставляет двигаться нитка

(т.е. из уравнений параболы и окружности) безо всяких приближений.
Только интуиция бьет тревогу. Т.к. проверка ни к чему существенному не приводит (кто бы сомневался), не вытекает ли данный факт из каких-либо простых и наивных физических соображений?
P.S. Пребываю в некотором смятении от рассмотрения подобных вопросов в рамках решения школьной задачи.

[Munin]

EtCetera в сообщении #382225 писал(а):

К чему тут радиус кривизны?

Ну посчитайте без радиуса кривизны. Ответ не сойдётся.

EtCetera в сообщении #382225 писал(а):

Если уж на то пошло, условие корректности ситуации выцепляется безо всяких приближений.

И оказывается в точности условием на радиус кривизны. А вообще, хотелось бы видеть ваши выкладки.

EtCetera в сообщении #382225 писал(а):

Т.к. проверка ни к чему существенному не приводит

Какая проверка?

-- 01.12.2010 00:06:57 --

Чёрт, я протупил. Можно и по-школьному. Приравнять $a=v^2/R$ и $g.$

[EtCetera]

Munin

Munin в сообщении #382227 писал(а):

Приравнять $a=v^2/R$ и $g.$

Вот на это я и намекал.
Вы меня прямо испугали! Почудилось, что переход с осеннего периода на зимний потянул за собой какие-то основательные перемены.

[Ginsbur]

EtCetera в сообщении #382182 писал(а):

Для решения этой задаче нужно просто аккуратно расписать второй закон Ньютона для шарика в верхней и нижней точках траектории его движения и закон сохранения энергии

Я зваписываю систему уравнений:
$ma_n=T_1+mg$
$ma_n=T_2-mg$
Где $T_1$ сила натяжения в верхней точке окружности, $T_2$ в нижней.
Но как записать уравнение сохранения энергии? Кинетическая энергия во время движения одинакова во всех точках траектории, так как скорость постоянна и меняется только по направлению, а потенциальная максимальна только в верхней. Я не пойму как записать последнее уравнение.
P.S. Все задачи рассматриваются в условиях идеальной модели.

[EtCetera]

Ginsbur

Ginsbur в сообщении #382245 писал(а):

$T_1$ сила натяжения в верхней точке окружности

И чему она будет равна?

Ginsbur в сообщении #382245 писал(а):

скорость постоянна

Отнюдь. Про это ничего не сказано. А потому утверждение о том, что

Ginsbur в сообщении #382245 писал(а):

Кинетическая энергия во время движения одинакова во всех точках траектории

неверно.

Ginsbur в сообщении #382245 писал(а):

Я не пойму как записать последнее уравнение.

Обозначьте скорость шарика в верхней точке $v_1$, в нижней $\text{---}$ $v_2$, длину нити $\text{---}$ $R$ и подумайте, чему будет равна работа силы натяжения нити. Третье уравнение легко запишется.

[Munin]

Шарик движется не равномерно, а с постоянной энергией. Так что внизу его скорость, конечно, больше, точно так же, как если бы он не крутился на нитке, а был маятником, или занимался свободным падением. (Мы считаем, что некто уже раскрутил шарик, и больше его не подкручивает. Как раскручивать шарик - более сложная и неопределённая задача.)

[dvorkin_sacha]

Munin в сообщении #382375 писал(а):

Как раскручивать шарик - более сложная и неопределённая задача.)

(Оффтоп)

Почему? Сила есть - ума не надо.

[pittite]

dvorkin_sacha, предупреждение за оффтопик в этом сообщении.

[Ginsbur]

EtCetera в сообщении #382296 писал(а):

Обозначьте скорость шарика в верхней точке , в нижней , длину нити и подумайте, чему будет равна работа силы натяжения нити. Третье уравнение легко запишется.

Я сижу с физикой с утра до ночи, все свободное время У меня пухнет голова
$T_1=ma_n-mg$
Закон сохранения будет выглядеть так:
$mgh=mv_1^2/2+mv_2^2/2$
Где $h=2R$, $v_1$ скорость в верхней точке окружности, $v_2$ в нижней.
Я уже не понимаю из чего складывается эта сила натяжения. Это равнодействующая сила? Все, голова уже не думает.

[EtCetera]

Ginsbur

Ginsbur в сообщении #382505 писал(а):

$T_1=ma_n-mg$

И ведь не поспоришь! Ответ настолько же точен, насколько и бесполезен.
Я имел в виду конкретное значение.
Небольшое отступление. Так как в условии нас просят найти такую силу натяжения, чтобы шарик хоть как-то, но вращался в вертикальной плоскости, то логично предположить, что искать следует наименьшее корректное значение силы натяжения. С другой стороны, самым "узким" местом на траектории вращения является нижняя точка (2), поскольку именно здесь сила натяжения наибольшая. Потому $T_2$ и будет искомой величиной. Остается исхитриться уменьшить "издержки". Сделать это можно с помощью уменьшения скорости вращения. Однако до бесконечности уменьшать нельзя: здесь "узким" местом будет уже верхняя точка (1). Если скорость будет недостаточной, шарик попросту свалится в пике. Очевидно, что уменьшая скорость в верхней точке, мы тем самым уменьшаем натяжение нити. Остается подобрать такую скорость, чтобы натяжения и вовсе не было. Тогда центростремительное ускорение шарика будет вызвано исключительно силой тяжести.
В общем, предыдущим абзацем я пытался донести до Вас простое равенство $T_1=0$.

Ginsbur в сообщении #382505 писал(а):

Закон сохранения будет выглядеть так:
$mgh=mv_1^2/2+mv_2^2/2$

Не совсем. Знаки нужно поменять местами. Все-таки закон сохранения энергии говорит о константности суммы потенциальной и кинетической энергий.

Итого получим:
$ma_n_1=mg$
$ma_n_2=T_2-mg$
$mg\cdot 2R+\dfrac{mv_1^2}{2}=\dfrac{mv_2^2}{2}$
Остается выразить $T_2$.

[Munin]

Ginsbur в сообщении #382505 писал(а):

$mgh=mv_1^2/2+mv_2^2/2$

$$mgh=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}.$$

Кроме того, $T_1=0,$ а $T_2=ma_n+mg$ вам надо найти.

Ginsbur в сообщении #382505 писал(а):

Я уже не понимаю из чего складывается эта сила натяжения. Это равнодействующая сила?

Нет, наоборот, равнодействующая - это сумма силы натяжения и силы тяжести:

$$\vec{R}=\vec{T}+m\vec{g}.$$

Именно эта равнодействующая равна $m\vec{a}$ по Второму закону Ньютона. А вы пользуетесь формулами, в которых слагаемые уже перенесены по другую сторону знака равенства.

-- 01.12.2010 21:35:31 --

EtCetera каждый раз отвечает быстрее. Так что я перестаю комментировать :-)