Метод Ньютона (решение нелинейного уравнения)

[Elarium]

Нужно решить нелинейное уравнение $x^4-10000.01x^3+101x^2-10000.01x+100=0$ методом Ньютона c точностью 0.001. В самом методе вроде как разобрался, но не знаю как определить начальное приближение $x_0$ и отрезок $[a,b]$ в котором лежат корни, а вернее отрезок, в котором он бы начал сходиться.

[venco]

В принципе, корни гладкой функции лежат максимум по одному между корнями её производной (и ещё два с краёв), а т.к. производную полинома легко получить, то все корни полинома $n$-ой степени можно вычислить последовательно, начиная с его $n-1$-ой производной. Конечно, надо ещё учесть возможность кратных корней...
Отставить, это будет не метод Ньютона.

[ewert]

venco в сообщении #382110 писал(а):

Отставить, это будет не метод Ньютона.

Нет, в достаточной степени Ньютона. Ведь проблема-то в локализации корней, да?... Ну так для многочлена они как раз и локализуются: сперва предпоследней производной, потом предыдущей, потом (и это уж Ньютон) ещё предыдущей...

[Elarium]

ewert в сообщении #382130 писал(а):

venco в сообщении #382110 писал(а):

Отставить, это будет не метод Ньютона.

Нет, в достаточной степени Ньютона. Ведь проблема-то в локализации корней, да?... Ну так для многочлена они как раз и локализуются: сперва предпоследней производной, потом предыдущей, потом (и это уж Ньютон) ещё предыдущей...

Да, именно! Сейчас вот нашел следующую вещь: http://math.tsu.ru/EEResources/cm/text/2_4.htm Подойдет ли этот метод отделения корней?

[dvorkin_sacha]

Elarium

Элементарно разлагается на произведение 2-х квадратных сомножителей.

[venco]

dvorkin_sacha в сообщении #382148 писал(а):

Elarium

Элементарно разлагается на произведение 2-х квадратных сомножителей.

Это уже точно не метод Ньютона.

[dvorkin_sacha]

venco

А что, метод Ньютона к произведению функций нельзя применять?

P.S.
Дело в том, что один из сомножителей не имеет в вещественной области корней.

[Elarium]

dvorkin_sacha в сообщении #382153 писал(а):

venco

А что, метод Ньютона к произведению функций нельзя применять?

Можно конечно, только зачем? Поясните

[venco]

dvorkin_sacha в сообщении #382153 писал(а):

venco

А что, метод Ньютона к произведению функций нельзя применять

А зачем останавливаться? Давайте выделим линейные множители и уже их по Ньютону.

Не забывайте, что цель этого задания - не найти корни, а изучить метод Ньютона.

[dvorkin_sacha]

Elarium в сообщении #382157 писал(а):

dvorkin_sacha в сообщении #382153 писал(а):

venco

А что, метод Ньютона к произведению функций нельзя применять?

Можно конечно, только зачем? Поясните

См выше мой P.S.

[ewert]

dvorkin_sacha в сообщении #382161 писал(а):

См выше мой P.S.

Он неспортивен. Это -- специфика задачи, отрабатывать же надо общий алгоритм.

[dvorkin_sacha]

ewert в сообщении #382165 писал(а):

dvorkin_sacha в сообщении #382161 писал(а):

См выше мой P.S.

Он неспортивен. Это -- специфика задачи, отрабатывать же надо общий алгоритм.

И где в условии задачи написано, что отделять корни нужно через одно место, не используя специфику задачи?

[Elarium]

Вроде как разобрался с алгоритмом отделения действительных корней. Ссылку я на него приводил выше, но вкратце опишу тут:
Если мы имеем нелинейное уравнение с действительными коэффициентами, вида $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$, то его корни лежат в кольце $ \frac {|a_n|} {b+|a_n|} \leqslant |x|\leqslant 1+\frac c {|a_0|} $, где $b=max(|a_0|,...,|a_{n-1}|), c=max(|a_1|,...,|a_n|)$ Тем самым этот бублик разбивает нашу ось абсцисс на два отрезка справа и слева от нуля. Затем производим сжатие этих отрезков и отыскивание корня с заданной точностью