Записываются одной и той же матрицей в любом базисе

[Gnome]

Какие линейные операторы записываются одинаково в любом базисе? Вроде бы ясно, что это должны быть растяжения и сжатия пространства во всех направлениях, так что операторы должны быть вида $kE$. Подскажите, пожалуйста, ход доказательства.

Вот что получилось у меня. Возьмем любой базис $\{e_1,...e_n\}$, и рассмотрим базисы вида $\{e_1+e_l,...e_n\}$. Запишем $A(e_1+e_l)$ и $Ae_1$ в координатах ($A$ - наши искомые операторы) и вычтем $Ae_1$ из $A(e_1+e_l)$, и получим $Ae_l=\lambda_{11}e_l$. Это то что нужно? Как можно доказать это лучше?

[ewert]

Gnome в сообщении #381824 писал(а):

Запишем $A(e_1+e_l)$ и $Ae_1$ в координатах

Вот этого я уже не понял (в каких координатах и почему не записываем, раз уж собрались?...).

А предложил бы я так. Во-первых, рассмотрим преобразование базиса, сводящееся к растяжению одного из базисных векторов. В матрице оператора при таком переходе соотв. строка умножается на коэффициент растяжения, а соотв. столбец делится на него же (ну или там наоборот -- лень следить, неважно). Это означает, что в тех двух линиях ненулевым может быть только диагональный элемент. А ввиду произвольности растягиваемого базисного вектора -- матрица обязана быть просто диагональной. А что все диагональные элементы одинаковы -- теперь доказывается парными перестановками базисных векторов.

[paha]

преобразование матрицы оператора при смене базиса $A\mapsto C^{-1}AC$.

Таким образом мы ищем линейные операторы, которые коммутируют с любым обратимым оператором.

Теперь заметим, что если $Cv=\lambda v$, то $CAv=ACv=\lambda Av$, т.е. $A$ переводит собственные вектора любого обратимого оператора в собственные вектора с тем же собственным значением

Но любой вектор является чьим-то единственным собственным вектором, соответствующим данному собственному значению, поэтому $Av=\mu(v)v$, причем $\mu(u+v)=\mu(u)=\mu(v)$ для любых $u,v$, поэтому $\mu(v)=const$

[Gnome]

ewert в сообщении #381860 писал(а):

Вот этого я уже не понял (в каких координатах и почему не записываем, раз уж собрались?...).

В базисе $\{e_1,...,e_n\}$ вектор $Ae_1$ запишется в виде $Ae_1=\lambda_{11}e_1+...+\lambda_{l1}e_l+...+\lambda_{n1}e_n$. В базисе $\{e_1+e_l,...,e_n\}$ вектор $A(e_1+e_l)$ запишется в виде $A(e_1+e_l)=\lambda_{11}(e_1+e_l)+...+\lambda_{l1}e_l+...+\lambda_{n1}e_n$. В базисе $\{e_1,...,e_n\}$ будет $A(e_1+e_l)=\lambda_{11}e_1+...+(\lambda_{11}+\lambda_{l1})e_l+...+\lambda_{n1}e_n$. Теперь $A(e_1+e_l)-Ae_1=Ae_l=\lambda_{11}e_l$, $l=1,...n$. Вроде бы все в порядке?

Так или иначе, у Вас лучше, спасибо!

[ewert]

Gnome в сообщении #381914 писал(а):

В базисе $\{e_1,...,e_n\}$ вектор $Ae_1$ запишется в виде $Ae_1=\lambda_{11}e_1+...+\lambda_{l1}e_l+...+\lambda_{n1}e_n$. В базисе $\{e_1+e_l,...,e_n\}$ вектор $A(e_1+e_l)$ запишется в виде $A(e_1+e_l)=\lambda_{11}(e_1+e_l)+...+\lambda_{l1}e_l+...+\lambda_{n1}e_n$.

Возможно, я совсем отупел (что вовсе не исключено), но -- так и не понимаю. Вы ссылаетесь на изначальное разложение $A\vec e_1$. А потом вдруг появляется вектор $A\vec e_l$, и хрен его знает, как он там по всему остальному раскладывается.

paha в сообщении #381902 писал(а):

переводит собственные вектора любого обратимого оператора в собственные вектора с тем же собственным значением

Апелляция к собственным векторам нехороша -- ведь, скажем, в вещественном пространстве оператор может и вовсе не иметь ни одного собственного числа. Между тем обсуждаемое утверждение верно независимо от поля, над которым.

(не считая булевского, возможно, но мне снова лень думать)

[paha]

ewert в сообщении #381936 писал(а):

Апелляция к собственным векторам нехороша -- ведь, скажем, в вещественном пространстве оператор может и вовсе не иметь ни одного собственного числа.

достаточно, чтобы тот, которого мы ищем, коммутировал с любым симметрическим... мне нужен лишь тот факт, что любой вектор является собственным для некоторого оператора и соответствующее собственное пространство одномерно

хотя можно говорить о сохранении собственных подпространств, но это уже не так наглядно

(Оффтоп)

не люблю базисы и матрицы

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #381945 писал(а):

не люблю базисы и матрицы

Цитата:

-- А я люблю господа бога,-- промолвил набожный фельдкурат, начиная икать,-- очень люблю!.. Дайте мне немного вина. Я господа бога уважаю,-- продолжал он.-- Очень, очень уважаю и чту. Никого так не уважаю, как его!
Он стукнул кулаком по столу, так что бутылки подскочили.
-- Бог -- возвышенное, неземное существо, совершенное во всех своих деяниях, существо, подобное солнцу, и никто меня в этом не разубедит! И святого Иосифа почитаю, и всех святых почитаю, и даже святого Серапиона... У него такое отвратительное имя!

$\copyright$

[Gnome]

ewert в сообщении #381936 писал(а):

Возможно, я совсем отупел (что вовсе не исключено), но -- так и не понимаю. Вы ссылаетесь на изначальное разложение $A\vec e_1$. А потом вдруг появляется вектор $A\vec e_l$, и хрен его знает, как он там по всему остальному раскладывается.

Мы смотрим на произвольный базис $B=\{e_1,...,e_n\}$. Вектор $Ae_l$ - образ вектора $e_l$ при действии нашего оператора $A$, $l=1,...n$. В этом базисе $Ae_l=\lambda_{1l}e_1+...+\lambda_{ll}e_l+...+\lambda_{nl}e_n$ для произвольного базисного вектора $e_l$. Теперь образуем базисы $B^{(k)}, k=1,...,n$, в которых все базисные векторы, кроме первого, совпадают с векторами базиса $B$, а вместо $e_1$ взят вектор $e_1+e_k$. То есть это базисы $B^{(1)}=\{e_1+e_1,...,e_n\}, ..., B^{(n)}=\{e_1+e_n,...,e_n\}$. Теперь посмотрим, как наш оператор действует на первый вектор базиса $B^{(l)}$. Так как матрица одинаковая во всех базисах, получится $A(e_1+e_l)=\lambda_{11}(e_1+e_l)+...+\lambda_{l1}e_l+...+\lambda_{n1}e_n$. Это запись в базисе $B^{(l)}$. Дальше очевидное: $A(e_1+e_l)=Ae_1+Ae_l, Ae_l=A(e_1+e_l)-Ae_1$. Вектор $A(e_1+e_l)$ легко записать в базисе $B$: $A(e_1+e_l)=\lambda_{l1}e_1+...+(\lambda_{l1}+\lambda_{ll})e_l+...+\lambda_{n1}e_n$. Вычитая $Ae_l$ из $A(e_1+e_l)$, получаем $Ae_l=\lambda_{11}e_l$, то есть $\lambda_{11}e_l=\lambda_{1l}e_1+...+\lambda_{ll}e_l+...+\lambda_{nl}e_n$. Это как раз то, что нужно - все недиагональные элементы матрицы оператора равны нулю, все диагональные равны $\lambda_{11}$.

Вроде бы все правильно, или нет? Я уже сам запутался.

[ewert]

В деталях не разобрался, но идею понял. По-моему, оформлять надо так.

В старом базисе $\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ (по определению):
$Ae_1=a_{11}e_1+a_{21}e_2+...+a_{n1}e_n.$

В новом базисе $\{(e_1+e_k),e_2,\ldots,e_n\}$ (по предположению):
$A(e_1+e_k)=a_{11}(e_1+e_k)+a_{21}e_2+...+a_{n1}e_n.$

После вычитания получаем $Ae_k=a_{11}e_k$ для любого $k$ (в т.ч. и для $k=1$), что и означает $A=a_{11}I$.