Производная по вектору

[paha]

ewert в сообщении #381290 писал(а):

$\frac{df}{d{\mathbf x}}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$.

вообще-то $\partial f/\partial{\mathbf x}$ это не "производная по какому-то мифическому вектору ${\mathbf x}$", а краткая запись якобиана отображения $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ в координатах $(x_1,\ldots,x_n)$.


В примере

caxap в сообщении #381306 писал(а):

Вот мы хотим найти $\frac{\partial f}{\partial \vec s}$, где $f(x,y)=xy^2$, $\vec s=(x+y,xy)$

$\partial f/\partial{\mathbf s}$ -- это якобиан отображения $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ в координатах $s_1=x_1x_2$, $s_2=x_1+x_2$

[caxap]

paha
Спасибо. Просто сбивает с толку то, что запись $\partial f/\partial \vec s$ (производная $f$ по вектору $\vec s$) может обозначать как значение дифференциала на $\vec s$ ($=\nabla f \cdot \vec s$ -- скорость изменения вдоль $\vec s$), так и якобиана $\frac{\partial f}{\partial{(s_1,\ldots,s_n)}}$ (= матрица производной $f'(\vec s)$).

[paha]

caxap в сообщении #381358 писал(а):

Просто сбивает с толку то, что запись $\partial f/\partial \vec s$ (производная $f$ по вектору $\vec s$)

Да... производная отображения $f$ в точке $\mathbf{x}$ по вектору $\mathbf{a}$ это просто число

$$ \left(\frac{d}{dt}\right)_{t=0}f(\mathbf{x}+\mathbf{a}t) $$

[ewert]

Munin в сообщении #381351 писал(а):

Вы не поверите, положено писать именно так, как написано. См. Математическую энциклопедию, статья "Градиент".

Не верю. Действительно, один раз в этой статье приводится странное обозначение $\frac{\partial f(t_0)}{\partial t}$ (дальше автор его предусмотрительно избегает). В любом случае: хозяин, конечно, барин, но это обозначение крайне неразумно -- оно приводит к смешению принципиально разных понятий $\frac{\partial\vec f}{\partial\vec x}$ и $\frac{\partial\vec f}{\partial\vec N}$ (упоминаемого, кстати, там же), причём в последнем-то случае производная действительно частная. Отсюда и все недоразумения.

Видите ли, обозначения тоже лучше бы выбирать в соответствии с логикой. Иначе теряет всякий смысл равенство, скажем, $\frac{\partial\vec f(\vec x,\vec y(\vec x))}{\partial\vec x}=\frac{\partial\vec f}{\partial\vec x}+\frac{\partial\vec f}{\partial\vec y}\cdot\frac{\partial\vec y}{\partial\vec x}$, а оно вполне содержательно (если, конечно, переписать его в разумных обозначениях).

[caxap]

(Оффтоп)

paha в сообщении #381361 писал(а):

Да... производная отображения $f$ в точке $\mathbf{x}$ по вектору $\mathbf{a}$ это просто число

$=df(\vec x,\vec a)$? Я ведь правильно понимаю?

(Недавно до меня наконец-то дошло, почему Зорич говорит, что производная = дифференциал (ведь ${\underbrace{f'(x)}_{\text{якоб.}}h=f'(x,h)=df(x,h)}$, $df=f'$). Надо добить эту тему...)

[ewert]

paha в сообщении #381361 писал(а):

Да... производная отображения $f$ в точке $\mathbf{x}$ по вектору $\mathbf{a}$ это просто число

$$ \left(\frac{d}{dt}\right)_{t=0}f(\mathbf{x}+\mathbf{a}t) $$

Кстати, ещё один пример крайне неудачной на этот раз терминологии. Нормальные люди предпочитают говорить о "производной по направлению" и соответственно её и определять. Во всяком случае, эти люди где-то примерно в четыреста раз нормальнее тех, кто произносит слова "производная по вектору".

[Munin]

caxap в сообщении #381358 писал(а):

Просто сбивает с толку то, что запись $\partial f/\partial \vec s$ (производная $f$ по вектору $\vec s$) может обозначать как значение дифференциала на $\vec s$ ($=\nabla f \cdot \vec s$ -- скорость изменения вдоль $\vec s$), так и якобиана $\frac{\partial f}{\partial{(s_1,\ldots,s_n)}}$ (= матрица производной $f'(\vec s)$).

Обычно достаточно легко отследить, идёт ли речь о координатах, от которых зависит $f,$ или о каком-то векторе, который обычно даже поля не составляет. Специально запутывающим способом никто не применяет обозначения.

[paha]

caxap в сообщении #381370 писал(а):

$=df(\vec x,\vec a)$? Я ведь правильно понимаю?

лучше писать $({\rm d}f)_{\mathbf{x}}\mathbf{a}$, подразумевая, что $\mathbf{a}$ -- касательный вектор в точке $\mathbf{x}$, т.е. вектор скорости некоторой кривой, проходящей через $\mathbf{x}$.

[Munin]

ewert в сообщении #381366 писал(а):

Munin в сообщении #381351 писал(а):

Вы не поверите, положено писать именно так, как написано. См. Математическую энциклопедию, статья "Градиент".

Не верю. Действительно, один раз в этой статье приводится странное обозначение $\frac{\partial f(t_0)}{\partial t}$ (дальше автор его предусмотрительно избегает).

Он его не "предусмотрительно избегает", а просто перечислил варианты, которые встречаются в разной литературе, чтобы дать читателю возможность переводить с одного языка обозначений на другой, а дальше занимается другими вопросами.

ewert в сообщении #381366 писал(а):

В любом случае: хозяин, конечно, барин, но это обозначение крайне неразумно

Сначала было обозначение $a_i,$ в котором подразумевается, что индекс пробегает пространственные измерения, и таким образом, речь идёт о едином объекте, а не его отдельных компонентах. Потом было обозначение $\partial f/\partial x^i,$ совершенно аналогично означающее совокупность частных производных, то есть градиент. И наконец, и там и там произошло "сокращение", то есть объект можно обозначать без индекса как $\mathbf{a},$ а градиент аналогично без индекса как $\partial f/\partial \mathbf{x}.$ В свете этого такие обозначения по крайней мере достаточно прозрачны и легко читаются (когда человек имеет багаж и привычку к предыдущим стадиям). Производная по направлению в соответствующих областях физики встречается гораздо реже, и никто не против, если ей будет присвоено отдельное обозначение, пусть даже менее систематическое и менее удобное.

В любом случае, я рад, что вы не защищаете предложенное вами обозначение с "прямыми" $d$ - вот такое мне действительно нигде не встречалось.

[paha]

ewert в сообщении #381372 писал(а):

Нормальные люди предпочитают говорить о "производной по направлению" и соответственно её и определять.

именно по вектору -- такие производные сами образуют векторное пространство:

обозначая

$$ D_{\mathbf{a}}f=\left(\frac{d}{dt}\right)_{t=0}f(\mathbf{x}+\mathbf{a}t) $$

немедленно получаем

$$ D_{\lambda\mathbf{a}+\mathbf{b}}=\lambda D_{\mathbf{a}}+D_{\mathbf{b}}, \quad D_{\mathbf{a}}fg=f(\mathbf{x})D_{\mathbf{a}}g+g(\mathbf{x})D_{\mathbf{a}}f $$

Так в некоторых учебниках и определяют касательное пространство -- как линейное пространство диффереренцирований алгебры функций. А если не определяют, то доказывают этот факт.

(Оффтоп)

Отсюда уже один шаг до связностей в расслоениях.