Паук на резинке

[zbl]

Говорят, авторство задачи принадлежит Сахарову.
Один конец резинки закреплён, а другой двигается относительно первого с постоянной скоростью (волны упругих деформаций, понятно, игнорируем, то есть, эдак лишь задан закон движения каждой точки резинки).
По резинке ползёт паук со скоростью, постоянной относительно резинки.
Сколько времени потребуется пауку, чтобы добраться до конца резинки? (если он вообще доберётся).
Задача по физике, а не по математике.

[ewert]

Задача про Муху

Задача по математике, а не по физике.

[Bulinator]

Пусть в момент $t=0$ длина резинки $l$. Мысленно соединим конец резинки с началом так, чтобы получилось колечко. Удлинение резинки со скорость $v$, таким образом, будет эквивалентно увеличению радиуса колечка со скоростью $v/2\pi$. Теперь, пусть паук ползет со скоростью $V$ по резинке. Т.к. концы резинки соединены, то можно ввести угловую скорость паука $\omega=V/r(t)=\frac{2\pi V}{l+vt}$. Время $T$ за которое паук достигнет конца резинки расчитывается из соотношения $\int\limits_{t=0}^T \omega dt=2\pi \frac{V}{v}\log{\left(1+\frac{v}{l} T\right)}=2\pi$.
Собственно все.

[zbl]

Ну, я ж говорю, что задача по физике, а не по математике.
По математике аналогичная задача решена (ссылка приведена, спасибо).
Относительно какой системы отсчёта задана постоянная скорость паука?
Я на этот вопрос так отвечу: относительно системы отсчёта, связанной с резинкой.
Верный ли ответ я дал?

[Bulinator]

zbl в сообщении #368954 писал(а):

Относительно какой системы отсчёта задана постоянная скорость паука?
Я на этот вопрос так отвечу: относительно системы отсчёта, связанной с резинкой.
Верный ли ответ я дал?

Относительно системы в этот момент сопутствующей точке на которой находится паук. Всмысле, понятно, что точка x, движется со скоростью $v\frac{x}{l(t)}$. Скорость паука определяется относительно системы отсчета, которая движется со скоростью точки на которой он находится. Это та скорость, которую бы показывал спидометр паука(если бы он у него был :) ).

[zbl]

Bulinator в сообщении #369071 писал(а):

Относительно системы в этот момент сопутствующей точке на которой находится паук.

То есть, с целой резинкой связать систему отсчёта нельзя? (только отдельно с каждым её кусочком).
А почемууу?

Bulinator в сообщении #369071 писал(а):

Всмысле, понятно, что точка x, движется со скоростью $v\frac{x}{l(t)}$.

Точка резинки относительно лабораторной системы отсчёта так движется по условию.
С этой точкой мы можем связать систему отсчёта, и, если относительно неё скорость паука постоянна, то мы можем найти и скорость относительно лабораторной системы отсчёта.
Но, если мы умножим эту скорость на небольшое время, то получим путь, который бы пролетел паук, оторвавшийся от резинки в данной точке, а не путь паука, оставшегося на резинке.
Если мы скорость измеряли относительно такой-то системы, то и путь (и время на пути) будет по той скорости относительно неё же получено.
Нельзя же нам интегрировать пути (или времена), которые проходят разные пауки в разных системах отсчёта?

Bulinator в сообщении #369071 писал(а):

Скорость паука определяется относительно системы отсчета, которая движется со скоростью точки на которой он находится. Это та скорость, которую бы показывал спидометр паука(если бы он у него был :) ).

А вот это уже как раз физика и есть: давайте, дадим пауку спидометр.
Только, тут ещё самого паука нужно смоделировать.
Например, если паук бесконечно твёрдый и опирается на резинку в двух физически бесконечно близких точках, то резинка сразу же его убьёт, так ведь?
Тогда в качестве паука лучше взять очень маленькое зубчатое колёсико.
Когда колёсико катится по неподвижной резинке, то его скорость просто связана со скоростью вращения.
Важно, что теперь можно связать систему отсчёта с самим колёсиком, и измерять относительно неё скорость точки касания.
Это радикально лучше, чем связывать систему отсчёта с точкой резинки: теперь у нас есть просто неинерциальная система отсчёта, связанная с пауком.
Можно ли по числу оборотов такого колёсика судить о пройденном пути по резинке?

[Bulinator]

zbl в сообщении #369095 писал(а):

То есть, с целой резинкой связать систему отсчёта нельзя? (только отдельно с каждым её кусочком).
А почемууу?

Хотя бы потому, что разные точки резинки движутся с разной скоростью. Ведь система отсчета не может двигаться одновременно с несколькими скоростьями.

zbl в сообщении #369095 писал(а):

Точка резинки относительно лабораторной системы отсчёта так движется по условию.
С этой точкой мы можем связать систему отсчёта, и, если относительно неё скорость паука постоянна, то мы можем найти и скорость относительно лабораторной системы отсчёта.

Можем, но эта скорость уже не будет постоянной ибо скорость сопутствующей системы меняется со временм.

zbl в сообщении #369095 писал(а):

Но, если мы умножим эту скорость на небольшое время, то получим путь, который бы пролетел паук, оторвавшийся от резинки в данной точке, а не путь паука, оставшегося на резинке.
Если мы скорость измеряли относительно такой-то системы, то и путь (и время на пути) будет по той скорости относительно неё же получено.
Нельзя же нам интегрировать пути (или времена), которые проходят разные пауки в разных системах отсчёта?

zbl, простите, что спрашиваю, но вы школьник или студент или кто? Потому как у меня сложилось впечатление(только впечатление), что у вас небольшие проблемы с пониманием бесконечно малых. Я бы на вашем месте пролистал бы какой-нибудь учебник. Хотя бы Фихтенгольца. А еще лучше порешать задачи из Демидовича. Я ни в коем случае не хочу вас обидеть и даже более того, если вы студент первого курса или школьник то могу только восхититься тем, что вы пытаетесь хорошо увоить бесконечно малые.

zbl в сообщении #369095 писал(а):

А вот это уже как раз физика и есть: давайте, дадим пауку спидометр.

Нет, он его сломает! Пауки не умеют ими пользоваться. :)))))

zbl в сообщении #369095 писал(а):

Только, тут ещё самого паука нужно смоделировать.
Например, если паук бесконечно твёрдый и опирается на резинку в двух физически бесконечно близких точках, то резинка сразу же его убьёт, так ведь?
Тогда в качестве паука лучше взять очень маленькое зубчатое колёсико.
Когда колёсико катится по неподвижной резинке, то его скорость просто связана со скоростью вращения.
Важно, что теперь можно связать систему отсчёта с самим колёсиком, и измерять относительно неё скорость точки касания.

В этой и подобных задачах паук и всякие твари считаются материальной точкой. И кстати, где вы видели бесконечно твердого паука? :))

zbl в сообщении #369095 писал(а):

... у нас есть просто неинерциальная система отсчёта, связанная с пауком.

Правильно и эта система и та, которая связанна с точкой на которой паук стоит- неинерциальные.

zbl в сообщении #369095 писал(а):

Можно ли по числу оборотов такого колёсика судить о пройденном пути по резинке?

Конечно можно. Представте огромную резинку по которой едет такси. У него счетчик будет же крутиться? А километры он считает по числу оборотов.

[zbl]

Bulinator в сообщении #369157 писал(а):

zbl в сообщении #369095 писал(а):

То есть, с целой резинкой связать систему отсчёта нельзя? (только отдельно с каждым её кусочком).
А почемууу?

Хотя бы потому, что разные точки резинки движутся с разной скоростью. Ведь система отсчета не может двигаться одновременно с несколькими скоростьями.

Разные точки вращающегося диска движутся с разными скоростями, но с ним можно связать систему отсчёта.
Вы хотели сказать?: ведь, тело отсчёта тогда не абсолютно твёрдое.
А откуда взялось такое требование?

Bulinator в сообщении #369157 писал(а):

Можем, но эта скорость уже не будет постоянной ибо скорость сопутствующей системы меняется со временм.

Разумеется.
Я имел в виду то же самое: скорость паука постоянна относительно мгновенно сопутствующей точке касания системы отсчёта, но её сумма с переменной переносной скоростью зависит от времени.

Bulinator в сообщении #369157 писал(а):

zbl в сообщении #369095 писал(а):

Нельзя же нам интегрировать пути (или времена), которые проходят разные пауки в разных системах отсчёта?

zbl, простите, что спрашиваю, но вы школьник или студент или кто?

Нет, я закончил физфак 12 лет назад.
Просто хотел cказать, что невозможно рассматривать движение относительно совокупности мгновенно-сопуствующих систем отсчёта вместо одной неинерциальной.

Bulinator в сообщении #369157 писал(а):

zbl в сообщении #369095 писал(а):

Можно ли по числу оборотов такого колёсика судить о пройденном пути по резинке?

Конечно можно. Представте огромную резинку по которой едет такси. У него счетчик будет же крутиться? А километры он считает по числу оборотов.

То есть, то, что говорилось в условии: "скорость паука постоянна относительно резинки", означало, что измеряться будет скорость точки касания паука и резинки относительно системы отсчёта, связанной с пауком (взять обратный знак только нужно).

Вообще-то я имел в ввиду троллинг на тему можно ли связать систему отсчёта с резинкой, как с целым.
Дело в том, что в релятивистской физике, в отличие от классической, мы такое сможем сделать.
Да только говорить о конечных промежутках времени и расстояниях, измеренных относительно произвольной системы отсчёта, в общем случае не получится...

[Bulinator]

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Просто хотел cказать, что невозможно рассматривать движение относительно совокупности мгновенно-сопуствующих систем отсчёта вместо одной неинерциальной.

Тав вот эта совокупность и есть одна неинерциальная система отсчета.

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Разные точки вращающегося диска движутся с разными скоростями, но с ним можно связать систему отсчёта.
Вы хотели сказать?: ведь, тело отсчёта тогда не абсолютно твёрдое.
А откуда взялось такое требование?

Из вменяемого подхода к решению задачи. Во первых надо определить понятие "связать систему координат с чем-то". Если это движущаяся по прямой материальная точка, то это очевидно: берем за ось x эту прямую и помещаем саму точку в 0 оси. Если это диск, тут тоже для фантазии простора мало, просто берем 2 перепендикулярные оси и жестко прикрепляем их к нему.

Но надо понимать, что понятие "связать систему координат с чем-то" не является строгим. Оно понимается интуитивно.

В принципе, какой-нибудь очень не ленивый человек, может связать с резинкой систему отсчета, введя, например, координату $\phi$, которая меняется от нуля до единицы на резинке.

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Вообще-то я имел в ввиду троллинг на тему можно ли связать систему отсчёта с резинкой, как с целым.

См. выше.

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Дело в том, что в релятивистской физике, в отличие от классической, мы такое сможем сделать.

А какая разница?

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Да только говорить о конечных промежутках времени и расстояниях, измеренных относительно произвольной системы отсчёта, в общем случае не получится...

Как не получится?? В инерциальной системе координат метрика имеет вид
$ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2$ (или $ds^2=dx_0^2-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2$ в релятивистском случае). Мы свободны делать преобразование $x_\mu^\prime=f_\mu(x)$ для любых $f(x)$. У нас огромная свобода преобразований. Берем бумажку-ручку и начинаем фантазировать. Считаем метрики в соответствующих координатах $x^\prime$ зависящие от всего- времени, координаты, курса Евро/Доллар... В частности, если $f(x)$ зависит от какого-то параметра резинки(скажем скорости удлинения или длины) то можем смело утверждать, что это система связанная с резинкой.

Мне кажется, что вы зациклились на преобразованиях которые сохраняют вид метрики и время(наверно, чтобы сохранить смысл и величину скорости v). А это только вращения и трансляции. Так как у нас одномерная задача, вращений у нас нет- остаются трансляции, т.е. другая система- суть ось, которая движется отностительно лабороторной с некоторой скоростью W(t). Понятно, что определенную скорость одновременно относящуюся ко всем точкам резинки ввести нельзя и собственно, поэтому какой-то хорошей системы нарисовать не получится.

Вот как-то так.

[zbl]

Bulinator в сообщении #369495 писал(а):

zbl в сообщении #369386 писал(а):

А откуда взялось такое требование?

Из вменяемого подхода к решению задачи.

Конкретная задача тут в общем-то не причём; тут дело в том, как именно мы измеряем положение в пространстве и времени.

Нужна система отсчёта (тело отсчёта и часы), чтобы иметь систему координат (совокупность физвеличин, значения которых определяют положение в пространстве и времени).
Невозможно иметь систему координат без системы отсчёта.
Сначала система отсчёта, потом -- система координат, а не наоборот.
Чтобы физвеличина стала координатой, она должна определять положение в пространстве, а само пространство (физсвойство протяжённость) определяется именно телом отсчёта.
В классической физике длина и время абсолютны; следствием этого служит требование абсолютной твёрдости тела отсчёта (возможность существования таких тел -- условие применимости классфизики).

Bulinator в сообщении #369495 писал(а):

Но надо понимать, что понятие "связать систему координат с чем-то" не является строгим. Оно понимается интуитивно.

Эдак бы и результаты вычислений по таким координатам лишь на интуитивном уровне были бы связаны с реальностью.

Bulinator в сообщении #369495 писал(а):

В принципе, какой-нибудь очень не ленивый человек, может связать с резинкой систему отсчета, введя, например, координату $\phi$, которая меняется от нуля до единицы на резинке.

Я вот копаю учебники на сей предмет.
Например, Риндлер (W.Rindler, широко известный в узких кругах физик) в 21-м веке издал современный учебник по теории относительности.
Так вот, он явно помнит, что тело отсчёта в классической физике абсолютно твёрдое, но почему, похоже, уже не помнит и говорит лишь об удобстве жёстких систем отсчёта.
В рядовых же учебниках про это днём с огнём не сыщешь.
Пожалуй, можно сказать, что за совершенной ненадобностью то, что в классфизике тело отсчёта обязано быть абсолютно твёрдым, просто позабылось уже окончательно.
Интересно наблюдать, как ненужное отмирает путём забывания о его существовании.

Bulinator в сообщении #369495 писал(а):

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Дело в том, что в релятивистской физике, в отличие от классической, мы такое сможем сделать.

А какая разница?

Пространство и время относительны.

Bulinator в сообщении #369495 писал(а):

zbl в сообщении #369386 писал(а):

Да только говорить о конечных промежутках времени и расстояниях, измеренных относительно произвольной системы отсчёта, в общем случае не получится...

Как не получится??

В прямом смысле.
Уже для самых простых неинерциальных систем отсчёта не удаётся иметь в них единое во всём пространстве время или конечную длину (только локально, в бесконечно малом объёме).
Тут не координатные время и длина имеются в виду а, словами Л.Л. истинные (физические).

Я тут придерживаюсь той точки зрения, что мы просто не умеем вычислять результаты измерений, которые могут быть проделаны.
Но это уже совсем другая история...

Bulinator в сообщении #369495 писал(а):

Вот как-то так.

Да, типа так.
Вы меня порадовали.
А то я очень зол на Сеть и на то, что мощь её вредного влияния недооценивается.

[Bulinator]

zbl в сообщении #369663 писал(а):

Пространство и время относительны.

И что?? Чем это мешает или наоборот помогает?

zbl в сообщении #369663 писал(а):

Уже для самых простых неинерциальных систем отсчёта не удаётся иметь в них единое во всём пространстве время или конечную длину (только локально, в бесконечно малом объёме).

Откуда это утверждение? В нерелятивистской мех-е длина и время всегда инвариантны- независимо от системы отсчета.

[zbl]

Bulinator в сообщении #369745 писал(а):

zbl в сообщении #369663 писал(а):

Пространство и время относительны.

И что?? Чем это мешает или наоборот помогает?

Требование пропадает, которое абсолютностью длины и времени было обусловлено.

Bulinator в сообщении #369745 писал(а):

zbl в сообщении #369663 писал(а):

Уже для самых простых неинерциальных систем отсчёта не удаётся иметь в них единое во всём пространстве время или конечную длину (только локально, в бесконечно малом объёме).

Откуда это утверждение? В нерелятивистской мех-е длина и время всегда инвариантны- независимо от системы отсчета.

В релятивистской механике время и длина относительны.
За отсутствием абсолютного времени приходится часы синхронизировать не простым переносом, а обменом световыми сигналами.
Синхронизация часов нужна и для измерения длины: по определению того, что такое длина, концы измеряемого отрезка в один и тот же момент времени должны фиксироваться.
В общем случае синхронизация часов вдоль замкнутого контура оказывается невозможной: в разных точках часы идут по-разному, переходя от точки к точке, синхронизируя часы, мы накапливаем дефект синхронизации; когда вернёмся в исходную точку, получим несовпадение.
А без единого времени и с конечной длиной те же проблемы.

[Утундрий]

zbl
А если муха (паrдон, паук!) начнет ползти с противоположной стороны. Как скоро доползёт?

[myhand]

Тем кто запутался, предложу "дискретный вариант". Поскольку мухи и пауки заняты - взял гусеницу.

К стене привязана упругая нить нить, длиной 1м. Второй конец держит в руках Вася. Гусеница сползает со стенки на нить и проползает 1см. Останавливается (ну мало-ли, дела). Вася отходит на 1м. Останавливается. Далее все повторяется: гусеница ползет дальше на 1см и останавливается - затем Вася отходит на 1м и останавливается.

Доползет гусеница до конца (т.е. до руки Васи)? Если да, то когда?

Утундрий в сообщении #371559 писал(а):

А если муха (паrдон, паук!) начнет ползти с противоположной стороны. Как скоро доползёт?

Задача симметричная в этом смысле.

[zbl]

Утундрий в сообщении #371559 писал(а):

zbl
А если муха (паrдон, паук!) начнет ползти с противоположной стороны. Как скоро доползёт?

Решение привёл ewert, вопрос к нему.
В уравнении просто знак скорости поменять и приравнивать результат интегрирования к нулю.
Для релятивистского паука похожим способом нелинейное уравнение получится (дробно-линейная правая часть будет).