Производная по вектору

[caxap]

Арнольд в "Математических методах классической механики" пишет, что $\frac {\partial f}{\partial{\mathbf x}}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}$, $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$. Но как так может быть? Ну, скажем, $\mathbf{x}=(1,0,0)$. И что такое $\frac{\partial f}{\partial 1}$?

[Joker_vD]

caxap
Ну да очень просто. $\frac {\partial f}{\partial{\mathbf x}}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}$, тогда $\frac {\partial f}{\partial{\mathbf x}}(1,0,0)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(1,0,0)+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(1,0,0)$

[caxap]

Что-то я не понял. Я хочу не значение производной в точке $(1,0,0)$, а производную по вектору $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)=(1,0,0)$. Что тогда будет $\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial 1}$?

[Munin]

Страницу не подскажете? Я не нашёл ни через оглавление, ни через указатель.

[caxap]

с. 48 (Глава 3, перед \S12)

[Munin]

Ну простите,
$\frac{\partial f}{\partial{\mathbf x}}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$
- это совсем не то же самое, что
$\frac {\partial f}{\partial{\mathbf x}}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}.$
Первое - это попросту градиент, $n$-мерный вектор, компоненты которого суть частные производные.

[ShMaxG]

caxap в сообщении #381172 писал(а):

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$

Компоненты здесь -- это переменные, а не конкретные числа. Вы же не задаетесь вопросом, как вычислить производную $\frac{dy}{d2}$, например.

[Munin]

А ваш вопрос звучит примерно так:
"Как такое может быть: $\frac{df}{dx}$? Ну, скажем, $x=1$, и что такое $\frac{df}{d1}$?"
То есть $x$ в данном случае (и векторная переменная $\mathbf{x}$ у Арнольда) - это переменная, по которой производится дифференцирование, и если вы хотите приравнять её какому-то значению, то вы сначала выполняете дифференцирование, а потом вычисляете результат в этой точке, подставляя её значение в итог дифференцирования: $\frac{df}{dx}\bigr\rvert_{x=1}.$

[ewert]

Munin в сообщении #381244 писал(а):

Ну простите,
$\frac{\partial f}{\partial{\mathbf x}}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$
- это совсем не то же самое

Вообще-то положено писать $\frac{df}{d{\mathbf x}}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$.

[Shtirlic]

caxap
Не, ну если речь идет только о производной по направлению, то там все просто. Есть функция $f(x),x=(x_1,x_2,...,x_n)$, есть вектор $a=(a_1,...,a_n)$. Вопрос, как будет вести себя функция при движении вдоль вектора $a$. Фактически вдоль вектора можно двигаться только в одном "измерении". Введем для этого измерения переменную t. Тогда $x=(x_1(t),...x_n(t)),f(x)=f(t)$. Теперь, по простым правилам геометрии $\Delta x_i=\Delta t \cos \alpha_i$, где $\alpha_i$ угол между осью $x_i$ и вектором $a$, то есть $\frac{dx_i}{dt}=\cos \alpha_i$. И по правилам дифференцирования сложной функции: $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{d x_1}{d t}+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{d x_n}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos \alpha_1+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cos \alpha_n. Это и есть производная по вектору $a$. Для $a=(1,0,0)$ $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}$.

[caxap]

ShMaxG в сообщении #381245 писал(а):

Компоненты здесь -- это переменные, а не конкретные числа.

ОК. А можно на конкретном примере? Вот мы хотим найти $\frac{\partial f}{\partial \vec s}$, где $f(x,y)=xy^2$, $\vec s=(x+y,xy)$. Дословно по формуле будет $\frac{\partial f}{\partial \vec s}=\left(\frac{\partial f}{\partial (x+y)},\frac{\partial f}{\partial (xy)}\right)=?...$

Shtirlic
Я знаю, что такое производная по вектору в "обычном" смысле, как в учебниках пишут. Это просто значение дифференциала на этом векторе. Для $f:\mathbb R^m\to\mathbb R$ матрицей производной будет градиент и оператор производную по вектору можно записать ещё как $\vec s\cdot \nabla$. Если брать всё тот же пример, то $f'(x,y)\vec s=(f'_x,f'_y)\cdot (x+y,xy)=y^2(x+y)+2(xy)^2$.
Меня интересует, совпадает ли арнольдовское определение производной по вектору с "обычным"?

-- 28 ноя 2010, 10:41 --

Хотя явно не совпадает, ибо по Арнольду производная по вектору -- вектор, а в "обычном" смысле -- скаляр.

[Shtirlic]

Цитата:

Shtirlic
Я знаю, что такое производная по вектору в "обычном" смысле, как в учебниках пишут. Это просто значение дифференциала на этом векторе. Для $f:\mathbb R^m\to\mathbb R$ матрицей производной будет градиент и оператор производную по вектору можно записать ещё как $\vec s\cdot \nabla$. Если брать всё тот же пример, то $f'(x,y)\vec s=(f'_x,f'_y)\cdot (x+y,xy)=y^2(x+y)+2(xy)^2$.
Меня интересует, совпадает ли арнольдовское определение производной по вектору с "обычным"?

Не совсем так, нужно еще поделить на длину вектора $s$.

[ewert]

caxap в сообщении #381306 писал(а):

А можно на конкретном примере? Вот мы хотим найти $\frac{\partial f}{\partial \vec s}$, где $f(x,y)=xy^2$, $\vec s=(x+y,xy)$.

Ну,

$\dfrac{df}{d\vec s}=\dfrac{df}{d\vec x}\cdot\dfrac{d\vec x}{d\vec s}=\dfrac{df}{d\vec x}\cdot\left(\dfrac{d\vec s}{d\vec x}\right)^{-1}=(y^2,2xy)\cdot\begin{pmatrix}1&1\\y&x\end{pmatrix}^{-1}=$

$=(y^2,2xy)\cdot\dfrac{1}{x-y}\begin{pmatrix}x&-1\\-y&1\end{pmatrix}=\big(\frac{xy^2}{y-x},\frac{2xy-y^2}{x-y}\big).$

А что такое частная производная по векторной функции -- я не знаю.

[caxap]

(Оффтоп)

Shtirlic в сообщении #381312 писал(а):

Не совсем так, нужно еще поделить на длину вектора $s$.

Не нужно, если я беру производную по произвольному вектору, а не по направлению.

ewert
Спасибо.

Вот "физический" смысл в обычной производной по вектору ясен -- это скорость изменения в направлении данного вектора (умноженная на длину этого вектора). А вот что значит вектор $\big(\frac{xy^2}{y-x},\frac{2xy-y^2}{x-y}\big)$?

[Munin]

ewert
Вы не поверите, положено писать именно так, как написано. См. Математическую энциклопедию, статья "Градиент". Не говоря уже о куче литературы, в которой это обозначение используется. Без произнесения всяких глупостей типа "частная производная по векторной функции". Просто значок такой.

Shtirlic
Речь не идёт о производной по направлению. Речь идёт о градиенте. Не давайте сбивающих с толку ответов.