Аксиома фундирования

[Виктор Викторов]

"In symbols,

$$ \forall z_1 \dots \forall z_n [\exists x \varphi(x) \to \exists x(\varphi(x) \wedge \forall y(y \in x \to \neg \varphi (y)))]$$

where $y$ is not free in the formula $\varphi(x)$ and $z_1, \dots, z_n$ are the free variables of $\varphi(x)$ other than $x$." Fraenkel A.A., Bar-Hillel Y., Levy A. Foundations of set theory (2ed., Elsevier, 1973) Страница 88.

Почему $\forall z_1 \dots \forall z_n$, а не $\forall z$?

[Xaositect]

Потому что там может быть много свободных переменных?
На самом деле если ограничить допустимые $\varphi$ формулами с двумя свободными переменными и написать $\forall z$, то это будет эквивалентно - мы всегда можем собрать кучку переменных в один кортеж.

[Виктор Викторов]

Есть предикат $\varphi(x)$. $\varphi(x)$ истинно или ложно. Решается вопрос брать ли некоторое множество или индивид в образуемое множество $L$. Если для данного $x$ $\varphi(x)$ истинно, то берём в $L$, а если ложно, то не берем в $L$. Утверждается, что если существует такое $x$, что $\varphi(x)$ истинно, то существует (хотя бы одно!) такое множество все элементы, которого не принадлежат $L$ ($\varphi(x)$ для них ложно), а само множество принадлежит $L$. Для индивидов это очевидно. А для множеств все подозреваемые $z$ мы прогоняем через $\varphi(x)$. Причём здесь "мы всегда можем собрать кучку переменных в один кортеж"? Зачем мне вообще здесь кортеж? У меня ведь однотипные $z$. Только подставляй их в $\varphi(x)$.

[Xaositect]

Я не понял этой фразы:

Цитата:

Для индивидов это очевидно. А для множеств все подозреваемые $z$ мы прогоняем через $\varphi(x)$.

в этом контексте:

Виктор Викторов в сообщении #380977 писал(а):

$z_1, \dots, z_n$ are the free variables of $\varphi(x)$ other than $x$."

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #381000 писал(а):

в этом контексте:

Виктор Викторов в сообщении #380977 писал(а):

$z_1, \dots, z_n$ are the free variables of $\varphi(x)$ other than $x$."

Так вот эту фразу я и не понимаю! Почему вообще "other than $x$."? Чем эти $z_1, \dots, z_n$ отличаются от $x$?

[Xaositect]

Это параметры.
То есть: если формула не содержит свободных переменных, то существует минимальное по принадлежности множество, ей удовлетворяющее.
А если содержит, то мы рассматриваем их как параметры, и тогда минимальное по принадлежности множество должно существовать для любых значений этих параметров.

[Виктор Викторов]

Мне явно не хватает знаний по сему поводу. Где можно прочитать про "минимальное по принадлежности множество"?

[Xaositect]

Минимальное по принадлежности - это значит, что оно удовлетворяет $\phi$, а все ему принадлежащие - не удовлетворяют.

-- Сб ноя 27, 2010 03:01:06 --

Вообще, аксиому фундирования в терминах собственных классов можно сформулировать так: отношение $\in$ (которое на самом деле собственное отношение, а не множество-отношение) фундировано, т.е. в любом классе содержится минимальный по этому отношению элемент.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #381005 писал(а):

Это параметры.
То есть: если формула не содержит свободных переменных, то существует минимальное по принадлежности множество, ей удовлетворяющее.
А если содержит, то мы рассматриваем их как параметры, и тогда минимальное по принадлежности множество должно существовать для любых значений этих параметров.

Смысл этой фразы полностью до меня дошёл. Я просто перегрелся. Что-то не ладится с обозначениями, но это не столь важно. Огромное спасибо.

-- Пт ноя 26, 2010 20:06:43 --

Xaositect в сообщении #381009 писал(а):

Вообще, аксиому фундирования в терминах собственных классов можно сформулировать так: отношение $\in$ (которое на самом деле собственное отношение, а не множество-отношение) фундировано, т.е. в любом классе содержится минимальный по этому отношению элемент.

Так словами Френкель почти так перед этой формулой и говорит. Это понятно. Я запутался в обозначениях.