Полином 6-й степени задающий 11 окружностей

[young]

Математик дал задачку. Написать полином 6-й степени задающий 11 овалов. Долго думал, никак не могу понять, как можно понижая степень ещё и добавлять количество окружностей! Он сказал, что, по-моему, этой задачей, в своё время, занимался ещё Гильберт. Может кто объяснит?

[vbn]

Арнольд В. И. Что такое математика?—М.: МЦНМО, 2002.— 104 с.
см. стр. 39.

[young]

Интересно както получается... Такого не может быть??? Тоесть нас просто провел приколист-учитель?

[Someone]

young писал(а):

Интересно как-то получается... Такого не может быть??? Тоесть нас просто провел приколист-учитель?

Почему "не может быть"? В указанном Вам месте написано:

Цитата:

Наибольшее число компонент связности вещественной алгебраической кривой равно $g+1$, где $g$ — род кривой (т. е. для гладкой кривой степени $n$),— это «теорема Харнака». По этой теореме, например, наибольшее число компонент связности («овалов», диффеоморфных окружности, ограничивающей круг) у алгебраической кривой степени $6$ равно $11$.

Кстати, овал - это не обязательно окружность.

[young]

Цитата:

Кстати, овал - это не обязательно окружность.

Вообще, речь идёт о элипсе, а это общее название и того и другого.

Цитата:

В указанном Вам месте написано

Про теорему Харнака я знал, но кроме того, что, судя по ней, такой полином существует, больше математически это негде не подтвеждено... Такие, вот, у нас на 1-м курсе домашние задания

[Someone]

young писал(а):

Вообще, речь идёт о элипсе, а это общее название и того и другого.

Цитата:

В указанном Вам месте написано

Нет, не обязательно эллипс. Овал - просто замкнутая кривая.

Я вот пытался придумать такой многочлен, но не получилось. Идея может быть такая: возьмём 6 прямых $A_kx+B_ky+C_k=0$, $1\leqslant k\leqslant 6$, расположенных так, чтобы никакие две из них не были параллельны, и никакие три не проходили через одну точку. И нужно рассмотреть кривую $\prod\limits_{k=1}^6(A_kx+B_ky+C_k)+\varepsilon=0$ при малых $\varepsilon$. Но там, кажется, больше 8 овалов не получается. Надо какие-то усовершенствования внести. Может быть, рассмотреть $(x^2+y^2)^3+\delta\prod\limits_{k=1}^6(A_kx+B_ky+C_k\varepsilon)=0$? Не знаю, никогда с такой задачей не сталкивался.

[young]

??? Интересно! Как это Вы суммированием добавляете ещё 3 окружности!? Это можно делать ТОЛЬКО произведением!

Цитата:

Но там, кажется, больше 8 овалов не получается

Там их макисмум 9. Есть вариант когда графически это выглядит так:

Тогда при расхождении получится соответственно:

Либо делать тоже самое с прямыми, но тут уже нужно думать как их располагать, но, как я не крутил, всёравно выходят теже 9, только уже нужно работать с плоскостью RP, потому что кривые получаются бесконечными.
Однако, математик, ехидно усмехаясь над моими конвульсионными попытками решения, сказал, что решение эта задача имеет и в итогде получается окружность, содержащая в себе 9 других, и, цетирую дословно, : "Небольшой овальчик рядом". Если комуто ещё интересна эта задача, подумайте, пожалуйста, я сам не очень смышлёный, а решить очень хочется, я пытаюсь, чесно-чесно! [/math]

[Руст]

А пересекающиеся овалы допускаются?
Например типа $\prod_i((x-a_i)^2+(y-b_i)^2-1)=0$,
когда 3 окружности пересекаются как олимпийские кольца, можно считать, что образовались семь овалов.

[PSP]

Руст писал(а):

А пересекающиеся овалы допускаются?
Например типа $\prod_i((x-a_i)^2+(y-b_i)^2-1)=0$,
когда 3 окружности пересекаются как олимпийские кольца, можно считать, что образовались семь овалов.

А можно ли найти такие две функции x(t),y(t) от t, чтобы $\prod_i((x(t)-a_i)^2+(y(t)-b_i)^2-1)=0$? Кажется, это называется проблемой униформизации?

[Someone]

young писал(а):

??? Интересно! Как это Вы суммированием добавляете ещё 3 окружности!? Это можно делать ТОЛЬКО произведением!

Ну, я имел в виду добавление бесконечно удалённой прямой на проективной плоскости. Но, кажется, не получается.

[young]

Руст

Цитата:

А пересекающиеся овалы допускаются?

А как Вы это себе представляете?
f(x)=e , где при крайне малых е должно начаться расхождение в сторону + или - в зависимости от знака e, а тут основной принцип и заключается в том, что при расхождении ну никак не может получиться каких-либо пересечений!
PSP

Цитата:

А можно ли найти такие две функции x(t),y(t)

Чесно говоря, не очень понял Вашу мысль. Скажем, если f(x) будит полиномом 1-й степени, то такое произведение ещё возможно, но, насколько мне известно, полином 1-й степени кроме прямой особо больше ничего задавать не может. Что же касается 2-й степени, то тут возникает досадная ситуация, поскольку возведение в квадрат даст нам уже 4-ю степень, а даже проиведение двух членов в итоге 8-ю, что противоречит условию, в котором максимальной степенью является 6-я!
Someone Говорят, есть две хорошие книжки "Математическая энциклопедия" и ещё какая-то "23 проблеммы Гильберта", но я даже не знаю, где можно найти хоть одну из них.

[tolstopuz]

http://www.math.uu.se/~oleg/es/1_6Harnack_Curves.html
Здесь есть метод, но я его не до конца понял.

[young]

tolstopuz Вообще, статья интересная, мой инглиш не есть гуд, но в основные аспекты я вьехал. Только, вот, 6-й степени так и не нашёл. Я так понял, что Харнак рассматривал вторую чатсть 16-й проблеммы Гильберта для 5-й степени?

[vbn]

ru.wikipedia.org писал(а):

Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько даже их может быть, и даже что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля предельных циклов конечное число) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем — для чего каждому из них пришлось написать по книге.

Проблемы Гильберта

[tolstopuz]

young писал(а):

Только, вот, 6-й степени так и не нашёл.

На той странице как раз и рассказывают, как из пятой степени получить все следующие, включая шестую, только это слегка выше моего понимания.