Линейные отображения сохраняющее объем и площади

[Ales]

Что известно о группе линейных отображений $\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ одновременно сохраняющих:
объем (то есть форму $dx \wedge dy \wedge dz$),
площади проекций на координатные плоскости (то есть формы $dx \wedge dy, dy \wedge dz, dz \wedge dx$)?

Четыре уравнения на девять переменных: определитель и диагональные миноры второго порядка равны единице.

[Ales]

Группа на самом деле шестимерная. Из сохранения площадей проекций следует сохранение объема.
Определитель равен единице, если миноры равны единице.

-- Ср ноя 24, 2010 17:17:15 --

Группу конечно можно получить в виде решений системы линейных дифференциальных уравнений с нулями по главной диагонали.

[Ales]

Ошибся.
Вопрос снимается: такая группа тривиальна - состоит из тождественного отображения.

[Gortaur]

То есть из сохранения проекций на любые 3 независимые плоскости влечется тождественность отображения?

[ИСН]

Проекция - штука лукавая. В самом деле, мало ли какая у нас фигура - наклонишь чуть-чуть, а там вылезет такое!.. Единственное, что сохраняет проекцию на плоскость XY - это повороты и согласованные растяжения в самой плоскости XY. А если нужны проекции на разные плоскости, то - - -

[ewert]

Ales в сообщении #380224 писал(а):

такая группа тривиальна - состоит из тождественного отображения.

Ну плюс отражения, но только вдоль координатных осей. Вообще-то это тоже группа, но -- конечная.

(если говорить не об ориентированных площадях и объёмах, а об обычных)

[Ales]

Gortaur в сообщении #380268 писал(а):

То есть из сохранения проекций на любые 3 независимые плоскости влечется тождественность отображения?

Если они ортогональны и проекция ортогональна, то точно да.

Если же какие попало, то скорее всего да.
Чтобы доказать надо посмотреть условия на миноры. Всего девять уравнений. По три на каждую проекцию.

-- Чт ноя 25, 2010 14:38:04 --

ewert в сообщении #380276 писал(а):

Ales в сообщении #380224 писал(а):

такая группа тривиальна - состоит из тождественного отображения.

Ну плюс отражения, но только вдоль координатных осей. Вообще-то это тоже группа, но -- конечная.

(если говорить не об ориентированных площадях и объёмах, а об обычных)

Точно - это группа отражений. Не совсем тривиальна. Матрица диагональна и на диагонали $\pm1$.