еще одна задача про площадь треугольника

[sasham26]

окружность,вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K
AK=m, KC=n
угол ABC =120 градусов
требуется найти площадь треугольника ABC
Подскажите пожалуйста, от чего тут отталкиваться?
все,что я знаю про вписанную окрнжность: r= S/p...

[ewert]

sasham26 в сообщении #368422 писал(а):

все,что я знаю про вписанную окрнжность: r= S/p...

Не только. Вы наверняка знаете и то, на пересечении чего находится центр этой окружности.

[sasham26]

знал,но не понял,Как использовать
спасибо!

-- Вс окт 31, 2010 21:07:29 --

подождите...
жто ведь только дает мне отношение AB/BC=m/n
что дальше с этим делать?!

[Stack256]

Исходя из условия задачи рисуем картинку

или крупнее

$a$ мы можем найти по теореме Пифагора: $a^2=r^2+(\frac12a)^2=>a=\frac2{\sqrt3}r$
$BD=\frac12a=\frac1{\sqrt3}r$
$p=\frac{AB+AC+BC}2=AK+KC+BD=m+n+\frac1{\sqrt3}r$
$S=rp; S=\frac12h*AC=\frac12(r+a)(m+n)$
из этих двух формул площади найдем $r$. $r*(m+n+\frac1{\sqrt3}r)=\frac12(r+\frac2{\sqrt3}r)(m+n)=>(m+n+\frac1{\sqrt3}r)=\frac12(1+\frac2{\sqrt3})(m+n)$
Итог: В любую из формул подставляем найденное значение $r$. Получили $S$ выражается через известные нам $m$ и $n$.

[sasham26]

Stack256
СПАСИБО! ::

[Milli]

Здравствуйте! =) Случайно вас нашла, тоже затрудняюсь решить эту задачу. С уважением, Stack256, идея решения похожая на вашу у меня возникала, но я решала уравнивая площади по формуле Герона и S=pr. В итоге получатся очень нагроможденно, выразить из этого r просто невозможно... По-вашей идее много проще, но если Вам несложно объясните пожалуйста, почему h = (a+r)? Ведь а это начало биссектрисы, а r - высота из точки О на сторону, кажется они совпадают только в равнобедренном треугольнике?

[Stack256]

Да. Вы правы. Значит мое решение не верно (Ведь в условии ничего не сказано про равнобедренные треугольники)

[vvvv]

Я также использовал формулу Герона и S=p*r и все получилось. см.картинку

Рещение верно для любого треугольника (неудаччно выбрал m=2 и n=2) см.вторую картинку

[vvvv]

Вторая картинка эта.

[Did]

Пусть BF=BD=x, тогда $S=0,5(x+m)(x+n)sin120 $. По теореме косинусов $(m+n)^2= (x+m)^2+(x+n)^2-2(x+m)(x+n)cos120$ ;$(m+n)^2= (x+n)^2+(x+m)^2+(x+m)(x+n)$ ; $(m+n)^2= (x+m)^2-2(x+m)(x+n)+(x+n)^2+3(x+m)(x+n)$: $(m+n)^2= (m-n)^2+3(x+m)(x+n)$ из этого равенства находим значение$(x+m)(x+n)$ и подставляем у выражение для S. Окончательно $S=mn\sqrt3/3$

[vvvv]

Did, Выше приведенная формула и ваша простая тождественно равны.
Если сделать упрощения, то получится как раз S=m*n*3^-1/2