Доказать неравенство с помощью метода мат. индукции.

[MrDindows]

Да.
По поводу сомнительной операции:
Вам дано что $a>b$
И необходимо доказать что $a>c$
Если вы докажете, что $b>c$ , из этого автоматически последует, что $a>c$
Именно эту операцию вы и используете.

[amonrah]

спасибо, теперь понял

[amonrah]

Вот опять неравенство с которым раньше встречаться не приходилось:

$3^n-2^n\ge n$

нужно доказать с помощью индукции верно ли оно или нет.

В задании нестоит какие иммено значения $n$ может принимать, поэтому для простоты возьмём $n \in \mathbb{N}$

Неравенство $3^n\ge n+2^n$ выпоняется при $n=1$, предположем, что оно верно и для $n>1$. Докажем, что оно верно для $n+1$

Имеем: $3^{n+1}\ge n+1+2^{n+1}$

Отсюда: $3*3^{n}\ge n+1+2*2^{n}$
Отсюда: $3^{n}\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$

Если теперь получится доказать, что $n+2^n\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$ ,
то можно будет заключить, что справедливо и $3^{n}\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$

и по индукции заключить, что $3^n-2^n\ge n$выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.


Докажем $n+2^n\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$, из него следует, что:

$n+2^n\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$

$2^n+2*n-1> 0$ ... тем самым я доказал неравенство???

[MrDindows]

да, вот только небольшое замечание по поводу оформления...

amonrah в сообщении #379997 писал(а):

Докажем $n+2^n\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$, из него следует, что:...

Фраза "из него следует, что" является неуместной)
Корректнее будет просто преобразовывать дальше то, что нам необходимо доказать...))

То же самое с фразой "Отсюда.." чуть выше. Её лучше заменить на " Или же", либо убрать вообще)
То же самое в первом доказательстве))


А "следует" или "отсюда" лучше использовать к тому, что дано либо что вы уже доказали.

[Maslov]

amonrah в сообщении #379997 писал(а):

Если теперь получится доказать, что $n+2^n\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$ ,
то можно будет заключить, что справедливо и $3^{n}\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$

Стесняюсь спросить: это почему?

И где Вы при доказательстве справедливости неравенства для $n+1$ хоть раз воспользовались его справедливостью для $n$.

[MrDindows]

Maslov в сообщении #380035 писал(а):

amonrah в сообщении #379997 писал(а):

Если теперь получится доказать, что $n+2^n\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$ ,
то можно будет заключить, что справедливо и $3^{n}\ge \frac{n+1+2*2^{n}}{3}$

Стесняюсь спросить: это почему?

И где Вы при доказательстве справедливости неравенства для $n+1$ хоть раз воспользовались его справедливостью для $n$.

Вот в этом месте он и воспользовался.

[Maslov]

Да, согласен.

[amonrah]

Цитата:

Фраза "из него следует, что" является неуместной)
Корректнее будет просто преобразовывать дальше то, что нам необходимо доказать...))

То же самое с фразой "Отсюда.." чуть выше. Её лучше заменить на " Или же", либо убрать вообще)
То же самое в первом доказательстве))


А "следует" или "отсюда" лучше использовать к тому, что дано либо что вы уже доказали.

хорошо учту :)..

вот ещё такое нестандартное неравенство, нужно всё так же доказать с помощью индукции. Вообще не понимаю как его сначала упростить:

$\sqrt{4 + \sqrt{4 + \sqrt{4 + ....+\sqrt{4}}}} < 3$

теоретически я бы для начала возвёл в квадрат $n$ раз обе стороны, $n \in \mathbb{N}$.

Причём перетягивая после каждого возведения в квадрат $4$ на правую сторону.

В общем тупик, не знаю как поступить дальше.

[svv]

Обозначим левую часть через $x$. amonrah, как Вы думаете, чему равно $x^2-4$?

[ewert]

А Вы просто формализуйте задачу. От Вас требуется доказать, что некое $a_n<3$ ваще. Ну так выразите формально $a_{n+1}$ через $a_{n}$. И докажите формально, что если $a_{n}<3$, то уж тем более и $a_{n+1}<3$.

[svv]

А, не заметил, с помощью индукции. Но, amonrah, способ все равно попробуйте и положите в копилку.