Функции со свойством f(xy)=f(x)*f(y)

[GAlexei]

Как-то пришлось столкнуться с функциями, удовлетворяющими соотношению $f(xy)=f(x)f(y)$, где $x$ и $y$ - действительные числа. Это правда, что такому соотношению удовлетворяют только лишь функции вида f(x)=x^a?

[Руст]

Во первых надо уточнить множества - область определения и область значений.
На самом деле ваша формула не охватывает даже всех непрерывных функций с таким свойством.

[Brukvalub]

GAlexei писал(а):

Как-то пришлось столкнуться с функциями, удовлетворяющими соотношению f(xy)=f(x)f(y), где x и y - действительные числа. Это правда, что такому соотношению удовлетворяют только лишь функции вида f(x)=x^a?

Вот примеры других мультипликативных функций $y = \left| x \right|\quad ,\quad y = {\mathop{\rm sgn}} \;x$

[GAlexei]

Руст писал(а):

Во первых надо уточнить множества - область определения и область значений.
На самом деле ваша формула не охватывает даже всех непрерывных функций с таким свойством.

Да, лучше было сразу: x, y \in (0;1), f(x) \in [0;1]. Просто думал, что мало что изменится, если распространить на \mathbb{R}. Ан нет. Но, по крайней мере, на интервале от 0 до 1 иной мультипликативной функции, кроме степенной, мне найти не удалось.

[Руст]

В этом случае кроме ваших непрерывных имеется ещё f(x)=0 (a=00) и f(x)=1 (a=0). Обычно ограничиваются функциями $f:R_+ \to R_+$, отображающих положительные числа в положительные. Тогда взяв функцию $g(x)=ln(f(e^x)), x\in R$, получаем, что g удовлетворяет условию g(x+y)=g(x)+g(y), т.е. аддитивна. Любая аддитивная функция на всей числовой прямой, непрерывная хотя бы в одной точке, или ограниченная снизу или сверху является линейной.

[GAlexei]

А, понятно. Кстати, константы 0 и 1, в принципе, тоже можно подогнать под степенную функцию, записав их как x^{\infty} и x^0. В общем-то, для меня было очень важно, чтобы на интервале (0;1) две мультипликативные функции, совпадающие хотя бы в одной точке, были бы равны на всём интервале. Спасибо всем, кто помог.

[Руст]

GAlexei писал(а):

В общем-то, для меня было очень важно, чтобы на интервале (0;1) две мультипликативные функции, совпадающие хотя бы в одной точке, были бы равны на всём интервале. Спасибо всем, кто помог.

Это верно только при дополнительном условии (непрерывность или ограниченость), упомянутой выше.