Единственное решение

[Руст]

Докажите, что система уравнений:
$x_1+x_2+...+x_n=n+2$,
$x_2+2x_2+...+nx_n=2n+2$,
$x_1+2^2x_2+...+n^2x_n=n^2+n+4$,
$x_1+2^3x_2+...+n^3x_n=n^3+n+8$
имеет единственное решение в неотрицательных действительных $x_i\ge 0, \ n\ge 5$ и найдите её.

[sergey1]

То же для n=3,4

[worm2]

(1) Перенесём многоточия в правую часть:

$x_1+x_2+x_n$=$n+2$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} x_i$
$x_1+2x_2+nx_n$=$2n+2$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} i x_i$
$x_1+4x_2+n^2 x_n$=$n^2+n+4$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} i^2 x_i$
$x_1+8x_2+n^3 x_n$=$n^3+n+8$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} i^3 x_i$

(2) Вычтем из 2-го, 3-го и 4-го уравнений 1-е:
$x_2+(n-1)x_n$=$n$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} (i-1)x_i$
$3x_2+(n^2-1)x_n$=$n^2+2$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} (i^2-1)x_i$
$7x_2+(n^3-1)x_n$=$n^3+6$-$\sum\limits_{i=3}^{n-1} (i^3-1)x_i$

(3) Умножим 1-е ур-е на $n^2+2$, 2-е --- на $n$ и вычтем из 1-го 2-е. После преобразований получим:
$(n-1)(n-2)(x_2-x_n)$=$-\sum\limits_{i=3}^{n-1} (n^2-n(i+1)+2)(i-1)x_i$

(4) Умножим в (2) 2-е ур-е на $n^3+6$, 3-е --- на $n^2+2$ и вычтем из 2-го 3-е. После преобразований получим:
$(n-1)(n-2)(3n+2)(x_2-x_n)$=$-\sum\limits_{i=3}^{n-1} (n^3(i+1)-n^2(i^2+i+1)-2i^2+4i+4)(i-1)x_i$

(5) Умножим (3) на $3n+2$ и вычтем из него (4). Опять-таки после преобразований получается (уф...):
$\sum\limits_{i=3}^{n-1} (n^2+2)(n(i-2)+i^2+4i+2)(i-1)x_i$ = 0.
(если нигде не наврал в преобразованиях).

(6) Видно, что в (5) коэффициенты при $x_i$ строго положительные (так как $i \ge 3$). Поскольку $x_i \ge 0$, отсюда следует, что (5) возможно только при $x_i = 0$, когда $3 \le i \le n-1$.

(7) Осталось решить систему
$x_1+x_2+x_n$=$n+2$
$x_1+2x_2+nx_n$=$2n+2$
$x_1+4x_2+n^2 x_n$=$n^2+n+4$
$x_1+8x_2+n^3 x_n$=$n^3+n+8$
Определитель системы, составленной, например, из первых 3-х уравнений, нетрудно посчитать и выяснить, что он ненулевой при $n \ge 5$. А можно и не считать, заметив, что он является определителем Вандермонда. Значит, решение (если оно есть) единственно.

(8) Можно решить систему (7), а можно угадать решение (как я и сделал): $x_1=n$, $x_2=x_n=1$. Ну а по (6) $x_i = 0$ при $3 \le i \le n-1$.

[Руст]

Всё верно. Ограничение можно даже ослабить до неотрицательности $x_i\ge 0, i=3,4,...,n-1$ только этих членов или до не положительности только этих членов.

[Юстас]

Руст, а более короткого решения Вам не известно?

[Руст]

Нет, не известно. Я выражал 3-ю и чётвёртую переменную через переменные, начиная с 5-го. Примерно столько же возни.