Группа вращений куба

[arseniiv]

Парит над столом куб. Пусть у нас есть вращение вокруг фронтальной плоскости $F$, вокруг горизонтальной $H$ и вокруг вертикальной $V$ (если правильно помню умные слова из черчения ). Мне кажется по некоторым соображениям, что в группе 24 элемента. Вот сколько вроде бы различных элементов я нашёл ($\phantom{i}' \equiv \phantom{i}^{-1}$): $E,\, F,\, V,\, H,\, F^2,\, V^2,\, H^2,\, F',\, V',\, H',\,$$FV,\, VF,\, FH,\, HF,\, VH,\, HV,\,$$F'V',\, V'F',\, F'H',\, H'F',\, V'H',\, H'V'$. Если все они и вправду попарно не равны, то какие ещё два остались? (GAP лень открывать, я там уже всё забыл.)

(Additional)

Можно считать $F = (3\, 2\, 5\, 4)$, $V = (1\, 4\, 6\, 2)$ и $H = (1\, 5\, 6\, 6)$. Легко получаются тождества $A^2 B^2 C^2 = E$, где $(A, B, C)$ — какая-то перестановка $(F, V, H)$.

Кажущееся ообоснование того, что порядок группы — 24: вроде бы можно взаимно-однозначно поставить в соответствие всем положениям куба после любых поворотов 8 положений фиксированной вершины и 3 направления на какую-то другую фиксированную смежную с ней вершину.

[ИСН]

Что их 24, это факт, а в остальном наша терминология отличается от вашей вплоть до полной невозможности общения. В моём понимании вращать можно только вокруг осей, а вокруг плоскостей никак.

[arseniiv]

Ой. Я имел ввиду в плоскости или вокруг оси, нормальной плоскости.

[ИСН]

Короче, есть три оси порядка 4 (проходят через середины граней), четыре оси порядка 3 (через углы), и шесть осей порядка 2 (через середины рёбер). Вроде всё сходится.

[arseniiv]

Ой, я совсем забыл, что можно посчитать побочные оси! Совсем голова не работает. Тогда смогу легко найти, какие они элементы представляют.

-- Вт ноя 23, 2010 20:45:43 --

Спасибо!

[Sonic86]

Можете подробнее в Богопольском "Введение в теорию групп" посмотреть про группу вращений куба.

[nestoklon]

Вот тут про куб всё что только можно про него придумать. Там же и про всё остальное тоже есть.
Икосаэдра с додекаэдром нету, но они в народном хозяйстве не очень применяются.