2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа вращений куба
Сообщение23.11.2010, 16:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Парит над столом куб. Пусть у нас есть вращение вокруг фронтальной плоскости $F$, вокруг горизонтальной $H$ и вокруг вертикальной $V$ (если правильно помню умные слова из черчения :-) ). Мне кажется по некоторым соображениям, что в группе 24 элемента. Вот сколько вроде бы различных элементов я нашёл ($\phantom{i}' \equiv \phantom{i}^{-1}$): $E,\, F,\, V,\, H,\, F^2,\, V^2,\, H^2,\, F',\, V',\, H',\,$$FV,\, VF,\, FH,\, HF,\, VH,\, HV,\,$$F'V',\, V'F',\, F'H',\, H'F',\, V'H',\, H'V'$. Если все они и вправду попарно не равны, то какие ещё два остались? (GAP лень открывать, я там уже всё забыл.)

(Additional)

Можно считать $F = (3\, 2\, 5\, 4)$, $V = (1\, 4\, 6\, 2)$ и $H = (1\, 5\, 6\, 6)$. Легко получаются тождества $A^2 B^2 C^2 = E$, где $(A, B, C)$ — какая-то перестановка $(F, V, H)$.

Кажущееся ообоснование того, что порядок группы — 24: вроде бы можно взаимно-однозначно поставить в соответствие всем положениям куба после любых поворотов 8 положений фиксированной вершины и 3 направления на какую-то другую фиксированную смежную с ней вершину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа вращений куба
Сообщение23.11.2010, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Что их 24, это факт, а в остальном наша терминология отличается от вашей вплоть до полной невозможности общения. В моём понимании вращать можно только вокруг осей, а вокруг плоскостей никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа вращений куба
Сообщение23.11.2010, 17:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ой. :mrgreen: Я имел ввиду в плоскости или вокруг оси, нормальной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа вращений куба
Сообщение23.11.2010, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Короче, есть три оси порядка 4 (проходят через середины граней), четыре оси порядка 3 (через углы), и шесть осей порядка 2 (через середины рёбер). Вроде всё сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа вращений куба
Сообщение23.11.2010, 17:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ой, я совсем забыл, что можно посчитать побочные оси! :oops: Совсем голова не работает. Тогда смогу легко найти, какие они элементы представляют.

-- Вт ноя 23, 2010 20:45:43 --

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа вращений куба
Сообщение24.11.2010, 07:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Можете подробнее в Богопольском "Введение в теорию групп" посмотреть про группу вращений куба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа вращений куба
Сообщение24.11.2010, 10:04 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
Вот тут про куб всё что только можно про него придумать. Там же и про всё остальное тоже есть.
Икосаэдра с додекаэдром нету, но они в народном хозяйстве не очень применяются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group