Нильпотентные группы. Теорема о макс-й абелевой подгруппе

[GanimeD]

Доброго дня.
Не могу разобраться с теоремой про нильпотентные группы из книги Каргаполова и Мерзлякова. Теорема следующая
(через $\zeta_i G$ обозначены члены верхнего центрального ряда)
Мне непонятно утверждение про коммутаторы $x$. Как так у авторов получилось, что все коммутаторы $[x,g]$ лежат в пересечении $C_G(A) \cap Z_i$?
Я дорассуждался до того, что раз $Z_{i+1}/Z_i$ - это центр группы $G/Z_i$, то есть фактически абелева, то $Z_i$ содержит коммутант $[Z_{i+1},Z_{i+1}]$. Но что-то мне кажется, что я не в ту сторону думаю. Разъясните, пожалуйста?..

[GanimeD]

В теореме разобрался, спасибо ребятам с mathforum.ru.

Краткое резюме.
Первое включение $[x,g] \in Z_i$ идет от определения центрального ряда ($Z_{i+1}/Z_i \subseteq Z(G/Z_i)$), что равносильно $[Z_{i+1},G] \subseteq Z_i$). Подвязываться к моим рассуждениям из первого поста можно так: так как фактор $Z_{i+1}/Z_i $попадает в центр $Z(G/Z_i)$, то он, мало того что коммутативен внутри себя, но еще и коммутирует с другими элементами $G/Z_i$, а, значит, $Z_i$ должна содержать коммутаторы элементов, лежащих в $Z_{i+1}$. Второе включение $[x,g] \in C_G(A)$ можно проверить через коммутаторное тождество $[uv,a]=[u,a]^v[v,a]$, если взять $u=x^{-1}$, $v=x^g$, $a \in A$ ($x^g=g^{-1}xg$).

[bot]

(Оффтоп)

Ребятам с mathforum.ru. читать и писать (особенно на чужом компьютере) было бы удобнее здесь, но они этот шанс упустили - тема успела уйти вниз