Проблема с поверхностью

[.:Jack:.]

Здравствуйте!
Такая проблема, есть поверхность y=x^2+z^2, y\in[0, 1], её пересекает плоскость x+z=1. Нужно найти площадь отсечённой части поверхности.

{{y'}_x} = 2x,\,\,\,\,{{y'}_z} = 2z \hfill \\
\iint\limits_\sigma {d\sigma = \iint\limits_D {\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{z^2}} dxdz}
D:\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {z^2} = 1 \\ x + z = 1 \\ \end{array} \right.
И тут не понятно - если его оставить в декартовых координатах - получается куча корней, интеграл из которых фиг возмешь, а если перевести в полярные, то всё выглядит лучше, кроме прямой x+z=1, уравнение которой получается p = \frac{1}{\cos \varphi + \sin \varphi }, и в итоге опять ерунда...

Проекция области на Oxz - кусочек круга радиусом 1, отрезанный прямой x+z=1..
В декартовых выходит
\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{1 - x}^{\sqrt {1 - {x^2}} } {\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{z^2}} dz}
А в полярных
\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{\frac{1}{{\cos \varphi + \sin \varphi }}}^1 {p\sqrt {1 + {p^2}} dp}

Это одно из пяти заданий контрольной работы, которая должна делаться за одну пару, тоесть тут явно должно быть решение попроще, чтобы не брать те громоздкие интегралы получающиеся таким способом Подскажите пожалуйста, в чём я не прав :) Заранее спасибо.

[vvvv]

Во-первых, неясно, что считать отсеченной частью?
Но это не столь важно.
Постановку задачи можно преобразовать (с "желтой" в "зеленую") см. картинку.
Тогда считать будет легко.

[.:Jack:.]

Попробовал, вышло лучше, но не намного...
$\[\int {\int {p\sqrt {1 + 4{p^2}} dpd\varphi } } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {d\varphi } \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 \cos \varphi }}}^1 {p\sqrt {1 + 4{p^2}} } = \frac{1}{{12}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left. {{{\left( {1 + 4{p^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{\frac{1}{{\sqrt 2 \cos \varphi }}}^1d\varphi } = \frac{1}{{12}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\left( {1 + \frac{2}{{\cos \varphi }}} \right)}^{\frac{3}{2}}} - {5^{\frac{3}{2}}}} \right)d\varphi } = o\_O\] $

[Ales]

Повернуть на 45 градусов. Выражение под интегралом от (x,z) не поменяется. А границы интегрирования будут удобнее. Еще и симметрию можно применить.

[vvvv]

.:Jack:. в сообщении #379667 писал(а):

Попробовал, вышло лучше, но не намного...
$\[\int {\int {p\sqrt {1 + 4{p^2}} dpd\varphi } } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {d\varphi } \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 \cos \varphi }}}^1 {p\sqrt {1 + 4{p^2}} } = \frac{1}{{12}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left. {{{\left( {1 + 4{p^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{\frac{1}{{\sqrt 2 \cos \varphi }}}^1d\varphi } = \frac{1}{{12}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\left( {1 + \frac{2}{{\cos \varphi }}} \right)}^{\frac{3}{2}}} - {5^{\frac{3}{2}}}} \right)d\varphi } = o\_O\] $

Этот интеграл взял Маткад - значит он несложный.

В свое время, лет 30 назад, решил почти все примеры (заслуживающие внимания) по неопределенному интегрированию задачника Г.Н. Берман, поэтому сейчас у меня нет интереса вспоминать и разъяснять - возьмите этот интеграл сами.

[Ales]

Или вычислять интеграл по треугольнику.