почти-периодические решения системы четвертого порядка

[ela]

Расчеты показывают, что у такого красивого уравнения

$$ (\frac{d^2}{dt^2}+a_1^2)(\frac{d^2}{dt^2}+a_2^2)x= A(\frac {d^2}{dt^2}+a_3^2)x^2 $$

по малым начальным данным имеются только ограниченные решения. Хотелось бы доказать это аналитически (конечно, отношение $ a_1/a_2$ не есть целое число и $A>0$). Цель- построить первый интеграл, из которого была бы видна ограниченность решений. Долго строю, пока не удается. Может, кто-то встречал такое уравнение в исследованиях по диф. уравнениям.


ela

-- Вс ноя 21, 2010 22:14:12 --

[moscwicz]

а что с устойчивостью нулевого решения по Ляпунову? Линеризованная система что собой представляет?

[sup]

Похоже, что утверждение справедливо лишь при условии несоизмеримости $a_1/a_2$.
Более того, необходимо, чтобы это отношение "плохо" ( в некотором смысле, разумеется)
приближалось рациональными дробями. Ну в самом деле, пусть собственные частоты, порожденные
линейной частью есть ${\omega}_1$ и ${\omega}_2$. Применяя метод последовательных приближений,
легко получить, что в правой части возникают слагаемые с "кратными" частотами, в том числе и вида
$k{\omega}_1+l{\omega}_2$, где $k \neq 0, l\neq 0$.
Конечно, коэффициенты при таких слагаемых порядка $M^{|k|+|l|}$,
где $M$-амплитуда решения, а значит "достаточно малы".
Но, такие слагаемые в правой части приводят к появлению таких же слагаемых в решении.
Причем,что самое важное, величина соответствующего коэффициента может быть сколь угодно велика,
если только величина $k{\omega}_1+l{\omega}_2$ достаточно близка к ${\omega}_1$ или ${\omega}_2$.
Большинство чисел не слишком хорошо приближаются рациональными дробями. Для них множитель
$M^{|k|+|l|}$ "сильнее", и "все хорошо". А вот для остальных ....
Разумеется, все это нестрого, но достаточно правдоподобно. Так что есть над чем подумать

[ela]

Спасибо большое за сообщение sup(а). Подумаю. Ваши рассуждения наводят на мысль о существовании в системе резонанса при наличии определенных соотношений между основными частотами. Мне казалось, что резонанса не должно быть при условии, что отношение частот не есть натур. число. Хотя, кроме главных резонансов, есть ведь еще более "слабые", которые как раз и реализуются на частотах того вида, какие Вы написали. Попробую "поиграть" методом последовательных приближений.

-- Пн ноя 22, 2010 23:21:41 --

Это уравнение можно записать в виде нелинейной автономной системы первого порядка

$$ \frac{dy}{dt}=Ay+F(y) $$

относительно неизвестного вектора $y=(x, \frac{dx}{dt},\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^3x}{dt^3})$. У системы две стац. точки, из которых ненулевая есть седло. Интерес представляет нулевая, так как в первом приближении это центр-собственные числа матрицы мнимые $\pm ia_1$, $\pm ia_2$. Используя метод Пуанкаре приведения автономной системы в окрестности критической точки к нормальной форме, получается, что и во втором и в третьем приближении нуль также будет нейтрально устойчив, т.е. центр (правда, при условии, что отсутствуют главные резонансы, т.е. частоты не кратны). Поэтому хочется аналитически доказать устойчивость нуля у нелин. системы или хотя бы наличие семейства почти-пер. или периодических решений.

[moscwicz]

задача производит впечатление совершенно неподъемной. Просто достаточно вспомнить, что в случае гамильтоновой системы с двумя степенями свободы устойчивое в линейном приближении положение равновесия перестает быть таковым, вообще говоря, при добавлении нелинейного возмущения. Это происходит из-за диффузии Арнольда. В общем случае, кгода система негамильтонова, надежду подает только дисипация.

ela в сообщении #379153 писал(а):

Используя метод Пуанкаре приведения автономной системы в окрестности критической точки к нормальной форме, получается, что и во втором и в третьем приближении нуль также будет нейтрально устойчив, т.е. центр (правда, при условии, что отсутствуют главные резонансы, т.е. частоты не кратны).

вот это объесняет видимость устойчивости, которую создает компьютер
сам метод Пуанкаре расходится, как известно. Поэтому устойчивость может наблюдаться во всех шагах этого метода, а система будет неустойчивой. На примере гамильтоновых систем это тоже хорошо известно.

[sup]

Ну, я бы не был столь пессиместичен. Я бы попробовал сначала "повозиться" с квадратичными
иррациональностями. Вот уж они точно "плохо" приближаются рациональными дробями.
Причем из теории цепных дробей легко извлечь точные оценки на эти приближения.
Голову на отсечение не дам, но полагаю, что для них все будет в порядке.
В результате, мне видится какое-то не оч. конструктивное условие на отношение $a_1/a_2$.
В смысле его приближений рациональными дробями.

[ela]

Спасибо большое участникам форума, обсуждающим это уравнение, а то меня уже "замкнуло"-может, думаю, все просто, а я не вижу чего-то очевидного. Уравнение уж очень красивое. Классиков, занимающихся устойчивостью обыкновенных автономных систем в окрестности критической точки (линеар. система имеет две пары сответств. мнимых чисел) я, по крайней мере, знаю двоих- А.Пуанкаре и А.М. Ляпунов. Подходы у них разные. Методом Пуанкаре получается, что при главных резонансах может быть как неустойчивость ( в целом у системы), так и устойчивость ( в зависимости от соотношений между коэф. в правой части) в соответствующих приближениях ( в целом не удается до-ть). Следуя Ляпунову, приводим систему линейной заменой к виду

$$ \frac {da}{dt}=-a_1 b,\qquad\frac {db}{dt}=a_1 a+\frac{B}{a_1} F(a,b,c,d), $$

$$ \frac {dc}{dt}=-a_2 d,\qquad\frac {d d}{dt}=a_2 c- \frac {B}{a_2} F(a,b,c,d), $$

$F$- полином второй степени относительно своих аргументов. Если бы у системы был
первый интеграл такого вида

$$ a^2+b^2+c^2+d^2+G(a,b,c,d)=const, $$

где $G(a,b,c,d)$ - голоморфная в нуле функция, разложение которой начинается с членов третьей степени, то у системы было бы два семейства периодических решений (они просто строятся через полярные замены), каждое из которых зависило бы от двух параметров. Над этим интегралом и бьюсь-мне кажется мысль о его существовование не протеворечит логике событий. Хотя очень интересно существование почти-периодических решений у этой задачи, ведь общее решение соответствующей линейной задачи (двух осцилляторов, когда $B=0$) -почти-периодическое. Может вы встречали современные исследования (может быть, и по механике) по существованию почти-пер. решений у таких завязанных нелинейных осцилляторов. К сожалению, я не специалист в цепных дробях (нас этому в университете даже и не учили), поэтому мне мысль sup(a) кажется интересной, но я ее до конца не понимаю.- как Вы из плохих оценок на нелинейность хотите доказать ограниченость решений.

[sup]

Да вообще-то, я имел в виду очень простую мысль. Пусть правая часть равна 0. Тогда любое решение суть сумма 4-х экспонент. Ну или по другому, преобразование Фурье сосредоточено в 4-х точках. А теперь рассмотрим правую часть. Она имеет очень специальный вид. Поэтому, легко сообразить, что теперь преобразование Фурье от решения сосредоточено в счетном множестве точек (их вид мы обсуждали выше). Предположим, нам удастся получить на коэффициенты Фурье "хорошие" оценки (ну что то типа $L_1$). Тогда решение ограничено. Однако, в дело вмешивается "резонанс". Поэтому, для некоторых $k,l$ коэффициенты могут быть "большими". Все зависит от того, насколько величина $k\omega_1 + l\omega_2$ близка к 0. А это зависит от того, как хорошо отношение $\lambda=a_1/a_2$ приближается рац. дробями. Я предлагал рассмотреть случай, когда это отношение квадратичная иррациональность (чего нибудь попроще). Для них, без всякой "большой" теории, по теореме Лиувилля $|\lambda -p/q| \geqslant C/q^2$. (А можно чего нибудь прочитать. Например, Хинчин "Цепные дроби").
С помощью компьютера можно ТОЧНО посмотреть какие ряды возникают в методе последовательных приближений. Берем в начале какую нибудь сумму 4-х экспонент. И начинаем итерировать. Есть такое впечатление, что основная масса коэффициентов будет быстро убывать, и только "небольшая часть" будет "проблематичной". Квадратичная иррациональность позволит ВООБЩЕ БЕЗ ОКРУГЛЕНИЙ все посчитать. Ну а потом, после экспериментов, можно выдвигать гипотезы какого то общего характера. Может быть "все плохо", а может все не так уж и страшно.
А вот для произвольных нелинейностей, такой подход, увы, уже не пройдет.

[ela]

Спасибо большое, sup, все понятно-похоже, Вы таким образом (накладывая такую иррациональность на частоты) хотите обойти здесь проблему "малых знаменателей". Нужно еще, я думаю, для обосноваемости сходимости доказать сжимаемость оператора $L$:

$$ Lx=A R_2^{-1}R_1^{-1}R_3 x^2, \qquad R_i= \frac{d^2}{d t^2}+{a_i}^2,\quad i=1,2,3. $$

или получить какие-то другие оценки. Это понятно. Уравнение хоть и модельное, но "живое" и то, что приходится накладывать условия на частоты-не так страшно, так как они находятся в руках исследователя. Почитаю Хинчина и познакомлюсь с расположением таких "хороших" чисел на оси.
Спасибо, sup.

[moscwicz]

а еще у меня такое чувство, что участники обсуждения систематически путают понятия квазипериодической функции и почти периодической функции