Обратимость в конечных кольцах

[donny]

Задача несложная, но все ли я делаю правильно?

Пусть $R$ коненчое кольцо с единицей. Показать, что каждый элемент, имеющий односторонний обратный обратим:
Пусть $a \ne 0 $ и имеет, без ограничения общности, левый обратный элемент, т.е. $a^{-1}_{1}\cdot a = 1$. Будем рассматривать последовательность $a, a^2, a^3 ...$, тогда найдется $n > 1$, такой что $a^n = a^i, i < n$, повторы в этой последовательности неизбежны в силу конечности кольца. Рассмотрим наименьшее такое $n $ и покажем, что $i = 1$. Сперва заметим, что в указанной последовательности нет нулей. Далее допустим для минимального $n$ соответствующее $i > 1$.
$a^n = a^i$
$a(a^{n-1}-a^{i-1}) = 0$, но тогда $a^{n-1} = a^{i-1}$, противоречие с тем, что $n$ -- минимально.
Таким образом получаем, что $a^{n} = a$ домножим на левый обратный обе части:
$a^{n-1} = 1$.
Расставляя скобки в произведении сначала в конце потом в начале, получится, что обратный для $a$ -- элемент $a^{n-2}$.

Ассоциативность вроде по дефолту подразумевается. Ну а если ее нету, то я не умею доказывать это для неассоциативных колец.
Спасибо.

[Mathusic]

Да, нормально всё.
Можно было только сократить. Вы сами замечаете, что найдутся $i,n: a^i=a^n$, откуда $a^{n-i}=1$.