Аппроксимация эллипса

[h_dima]

Для указанных точек на окружности получаем следущие коэффициенты:
$a_{11} = -1412421944,30272$
$a_{22} = -1412421944,30253$
$a_{33} = 3531054860756,64$
$a_{12} = 7,35449197029304E-06$
$a_{13} = 9,97522971808274E-05$
$a_{23} = -5,37315721613657E-05$

[Алексей К.]

Вы получили правильную окружность, тем самым разрушив все мои представления об устройстве мироздания.
Я не знаю, как жить дальше.

(Оффтоп)

Запастись тушёнкой и макаронами?
Бросить все дела, взять отпуск на работе?
Перепроверить Ваши расчёты?
Углубиться в задачу, понять, что происходит?
Неужели номер проходит, когда подсовываешь идеальный эллипс?
Посмотреть для простоты, а что будет в аналогичном случае с прямой?
Видимо, да. Иначе --- как дальше жить???

[Алексей К.]

Итак...

Вообще-то матрица оказалась вырожденной. А Вы как-то молча взяли от неё обратную...
Но я вспомнил своё творчество, когда обсуждал фит прямой и плоскости ---

Алексей К. в сообщении #74216 писал(а):

Можно было бы взять и обратную матрицу, но $M$ при идеальной плоскости или прямой будет вырождена. Эта, присоединённая, легко считается.

и взял присоединённую матрицу. И тоже получил правильную идеальную окружность.
Но почему именно вектор из одних единичек там срабатывает?

Подумавши, я всё это себе объяснил. Да (почти) любой вектор сработает. Например, [1,0,0,0,0,0].
Или [0,0,0,0,0,1]. Лишь бы не оказался ортогональным к искомому. Попробуйте, убедитесь (удивитесь), что получаете ту же окружность.

Ежели мы взяли идеальный эллипс, то кроме нулевого вектора коэффициентов существует ненулевой вектор [A,B,C...], дающий минимум МНК-функции. Матрица, дающая [0] при умножении на ненулевой вектор, обязана быть вырожденной.

И любой пропорциональный ему вектор тоже обнуляется. Т.е. ("я не знаю слов любви"инейной алгебры) имеется прямая в 6-мерном пространстве коэффициентов, которая этой матрицей в ноль проектируется. И матрица эта ранга 6-1=5.

А вот присоединённая матрица (Ваша якобы обратная) вообще так хорошо вырождена (ранг 1), что она любой вектор проектирует на эту нашу искомую прямую (Гантмахер куда-то запропастился за долгие годы непользования; я бы почитал о присоединённых матрицах, о рангах...).

Короче, я думал, что легко разоблачу Ваш трюк с единичным вектором (точнее, с вектором из одних единичек) на простенькой окружности, ан нет. Оказывается, надо было брать окружность $x^2+y^2-2=0\quad(R=\sqrt2)$: её вектор коэффициентов [-2,0,0,0,1,1] ортогонален вектору [1,1,1,1,1,1]; и результат будет зависеть, по сути, от вычислительных погрешностей (не все нули получатся, а какие-то числа около нуля; и вряд ли будет $a_{11}=a_{22}$, т.е. не окружность вовсе).

По-хорошему, надо брать неидеально расположенные точки. И убеждаться, что найденный минимум отнюдь не минимальный. Взять другой векторочек, получится или лучше, или хуже. Но всё это стоит делать лишь для того, чтобы убедиться на опытах, что метод неверен: я уже писал, что произвольно взятый "единичный" вектор ничем не обоснован.
В конце концов посмотрите ту же статью --- никто так не делает почему-то. А все придумывают всякие constraints, чтобы сделать правильно.

Картина мира восстанавливается.
Зря я закупился тушёнкой на целую неделю.

[Алексей К.]

Короче, если Вы уверены, что имеете дело с эллипсами и только, Вам следует зафиксировать $A=a_{11}=1$ или $C=a_{22}=1$. У эллипса ни один из этих коэффициентов не может обнулиться. И у Вас получится культурная система уравнений, культурное решение. И это можно назвать "чисто по МНК". Надо будет также закрыть глаза на то, что два перечисленных варианта дадут чуть-чуть разные результаты. Но зато всё будет линейно и просто. Лучше и надёжнее, чем Ваша придумка с "единичным" вектором.

Если Вам хочется сделать по статье, то Вам следует изучить и понять тему "условный экстремум" ("метод множителей Лагранжа"). И найти (условный) минимум той же функции (при условии связывания коэффициентов). Ребята предлагают условие $b^2-ac=1$. Вот и распишите, получите то, что в статье компактно записано (я тоже не умею такое легко читать, вынужден расписывать матрицы во всех подробностях).

Я, по сути, только что предложил другие условия, $A=1$ или $C=1$, что оставляет задачу линейной. Чуть раньше я предлагал более сложное условие. Но выводил я его из тех соображений, чтобы при повороте точек найденная кривая повернулась бы на тот же угол. Ни $a=1$, ни $c=1$ этого не обеспечивают. Не верю, что $b^2-ac=1$ обеспечивает (хотя в статье утверждается что да, всё аффффигеннно инвариантно).

[h_dima]

Спасибо за комментарии.