Интеграл Фурье. Пример

[greyvolf]

Есть значитца такая функция
$f(x) = \left\{\begin{array}{l} |x|, \quad |x|\le 1, \\ 0, \quad |x|>1. \end{array} \right$

по теореме, если непериодическая функция $f(x)$ абсолютна интегрируема на всей числовой оси, т.е.если интеграл
$f(x)=\int\limits_{- \infty }^{\infty}|f(x)|\,dx= \lim_{m \to \infty } \int\limits_{- m}^{m}|f(x)|\,dx$, сходится и если она удовлетворяет условиям Дирихле(она непрерывна за исключ.точек разрыва первого рода) на любом конечном интервале, то ее можно представить интегралом Фурье:
$f(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}(a(w)\cos(wx)+b(w)\sin(wx))\,dw$
где $a(w)=\int\limits_{- \infty}^{\infty}f(x)\cos(wx)\,dx$
$b(w)=\int\limits_{- \infty}^{\infty}f(x)\sin(wx)\,dx$
если решать по этим формулам, то чет не выходит.....график этой функции представляет собой два зуба по обе стороны нуля, по единице каждый......кто что может подсказать как решить???
у меня получалось так, что функция удовлетворяет условиям Дирихле, она неразрывна на всей числовой оси, но она не интегрируема на всей числовой оси, т.е.
$f(x)=\int\limits_{- \infty}^{\infty}|f(x)|\,dx= \lim_{m \to \infty} \int\limits_{- m}^{m}|f(x)|\,dx=\infty$
коэффициенты $a(w)$ $b(w)$я находил так...
$a(w)=\int\limits_{- \infty}^{1}f(x)\cos(wx)\,dx=\frac{w \sin w+\cos w}{w^2}$.....и похоже что я неправильно взял верхний предел интеграла, я брал единицу, а нужно было ноль????так получается???какие и где тут пределы нужно правильно брать?

[GAA]

greyvolf в сообщении #377859 писал(а):

$\int\limits_{- \infty}^{\infty}|f(x)|\,dx= \lim_{m \to \infty} \int\limits_{- m}^{m}|f(x)|\,dx=\infty$

Неправильно, интеграл сходится.

greyvolf в сообщении #377859 писал(а):

коэффициенты $a(w)$ $b(w)$я находил так...
$a(w)=\int\limits_{- \infty}^{1}f(x)\cos(wx)\,dx=\frac{w \sin w+\cos w}{w^2}$.....и похоже что я неправильно взял верхний предел интеграла, я брал единицу, а нужно было ноль????так получается???какие и где тут пределы нужно правильно брать?

$a(w)=\int\limits_{-1}^{1}f(x)\cos(wx)\,dx$Поскольку при $|x|>1$ подынтегральная функция равна нулю. Далее можно разбить на два интеграла: от -1 до 0 плюс от 0 до 1. Интеграл Вы вычислили неправильно.

[greyvolf]

хорошо.......спасибо....с этим понятно....а зачем еще интеграл разбивать на два интеграла от 1 до нуля, и от нуля до -1?

[Null]

А как иначе модуль интегрировать?

[greyvolf]

я если честно не знаю как интегрируются модули.....т.е, высчитать сначала $a_1(w)$ ,$a_2(w)$, потом суммировать и точно также для $b(w)$?

[AD]

greyvolf в сообщении #378680 писал(а):

я если честно не знаю как интегрируются модули.....?

Ну давайте как в школе. Универсальный ответ на вопрос "Зачем в задаче дан модуль?": Чтобы Вы его раскрыли.

[greyvolf]

т.е.суммировать после интегрирования?

[AD]

Чего-чего?

[greyvolf]

вот я высчитал интегалы $a_1(w)$ $a_2(w)$.....также и $b(w)$....что потом делать с этими коэффициентами?ведь подставить нужно только один $a(w)$....

[Null]

Что такое $a_i$?

[ИСН]

greyvolf, у Вас в условии нет совсем-совсем никаких $a_1$, $a_2$. Это значит, что они возникли в процессе решения. Кто-то решил что-то обозначить таким образом. Кто-то, кто это всё решал и Вашей рукой писал на бумажке. Кто бы это мог быть, а?
Вот его и спросите.

[greyvolf]

конструктивнее пжл.речь шла о том что $a(w)$ расчитать от нуля до -1 и от нуля до 1.аналогично и для $b(w)$поэтому и возник вопрос что потом с этими двумя значениями для каждого коэффициента делать.