Кривая в полярных координатах

[Ирина]

Назовите, пожалуйста, вид кривой $r=-6\cos 2w$ (в полярных системах координат)

[Someone]

Ирина писал(а):

Назовите, пожалуйста, вид кривой r=-6*cos2w (в полярных системах координат)

Мне встречалось название "четырёхлепестковая роза".

[Dan_Te]

Так у нее же два лепестка вроде.

[Гость]

Чатыре. (Для четных $k$ - $2k$, для нечетных $k$).

[Someone]

Dan_Te писал(а):

Так у нее же два лепестка вроде.

Вообще-то, в определении полярных координат $(\varphi,r)$ предполагается, что $r\geqslant 0$. Но потом, ничтоже сумняшеся, используют их и с $r<0$, оставляя неизменными формулы перехода $\begin{cases}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\end{cases}$.

Если Вы от уравнения в полярных координатах перейдёте к параметрическим уравнениям $\begin{cases}x=-6\cos 2\varphi\cos\varphi\\y=-6\cos 2\varphi\sin\varphi\end{cases}$ и построите кривую, то увидите четыре лепестка.

Преобразование данного уравнения к декартовым координатам даёт уравнение $(x^2+y^2)^3=36(x^2-y^2)^2$ (разумеется, "по дороге" приходится возводить в квадрат...). Это уравнение также даёт 4 лепестка.

[LynxGAV]

Hе припоминаю ни одной задачи с отрицательным r

[незваный гость]

Можно и не возводить в квадрат. Домножаем на $\rho^2$, и имеем $ (x^2+y^2)^{3/2} = $ $\rho^3 =$ $ -6 \rho^2 \cos 2 \omega = $ $ -6 (\rho^2 \cos^2 \omega - \rho^2 \sin^2 \omega) = $ $-6(x^2-y^2)$. То бишь, $(x^2+y^2)^{3/2} = 6(y^2-x^2)$.

[Someone]

LynxGAV писал(а):

Hе припоминаю ни одной задачи с отрицательным r

А вот то, что обсуждается выше - оно самое и есть.

Посмотрите также в справочнике И.Н.Бронштейна и К.А.Семендяева раздел "Важнейшие кривые". Там найдёте ещё такие случаи.

[Someone]

незванный гость писал(а):

:evil:
Можно и не возводить в квадрат. ... То бишь, $(x^2+y^2)^{3/2} = 6(y^2-x^2)$.

Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений...
Но Ваш вариант, безусловно, предполагает, что $\rho\geqslant 0$. В противном случае нужно написать $\pm(x^2+y^2)^{3/2}=6(y^2-x^2)$. Или предполагать, что $(x^2+y^2)^{3/2}$ имеет два значения, как это принято в ТФКП.

[LynxGAV]

Cправочник посмотрю.

Имела ввиду, что в задачах с цил. симметрией, изначально r и z от нуля до какого-нибудь положительного, угол больше нуля (потом наклыдываем периодичность). Это правда, не совсем то.

[Someone]

LynxGAV писал(а):

Cправочник посмотрю.

Имела ввиду, что в задачах с цил. симметрией, изначально r и z от нуля до какого-нибудь положительного, угол больше нуля (потом наклыдываем периодичность). Это правда, не совсем то.

Да, в общем-то, Вы правы. Полярные координаты $(\varphi,r)$ изначально определяются с $r\geqslant 0$ и $0\leqslant\varphi<2\pi$. При этом каждая точка, за исключением полюса ($r=0$), имеет единственные координаты. А потом области изменения $\varphi$ и $r$ расширяют, и координаты становятся многозначными. И с этим приходится иногда "бороться", ограничивая $\varphi$ и $r$ удобными промежутками.

[незваный гость]

Someone писал(а):

...Но Ваш вариант, безусловно, предполагает...

Ах, как Вы правы. Я даже не задумывался над этим, но предположение закрадывается в момент замены $\rho$ на $\sqrt{x^2+y^2}$.

Someone писал(а):

Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений.

Но при этом могут возникать добавочные решения. Посему я осторожно отношусь к возведению в квадрат только чтобы избавиться от радикалов.

[Someone]

незванный гость писал(а):

:evil:

Someone писал(а):

Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений.

Но при этом могут возникать добавочные решения. Посему я осторожно отношусь к возведению в квадрат только чтобы избавиться от радикалов.

Да, но алгебраические кривые (на плоскости) - это, по определению, кривые, задаваемые (в декартовых координатах) уравнениями вида $P(x,y)=0$, где $P(x,y)$ - многочлен.
Поэтому скорее можно было бы говорить о потере решений при извлечении квадратного корня в процессе перехода к полярным координатам.

[Dan_Te]

Похоже, это вопрос договоренности, как с нулем (который можно считать натуральным числом). У нас всегда на семинарах была договоренность, что радиус неотрицательный, и здесь бы я написал модуль.

[LynxGAV]

Многочлены. Aлгебраические кривые..
Немного не в тему, но с Вашего разрешения попробую продолжить.

Someone писал(а):

Да, в общем-то, Вы правы. Полярные координаты $(\varphi,r)$ изначально определяются с $r\geqslant 0$ и $0\leqslant\varphi<2\pi$. При этом каждая точка, за исключением полюса ($r=0$), имеет единственные координаты. А потом области изменения $\varphi$ и $r$ расширяют, и координаты становятся многозначными. И с этим приходится иногда "бороться", ограничивая $\varphi$ и $r$ удобными промежутками.

Когда я решаю задачу (мы - физики и прочие субъекты), то налагаю условия $0\leqslant \rho \leqslant \rho_0$, $0\leqslant \varphi$, $0\leqslant z \leqslant z_0$ ($z$ для общности) и всё, то бишь "поделили" пространтсво как нам удобно. НО. Решение из физ. соображений симметрии должно обладать свойством периодичности по $\varphi$(систему прокрутили на $2\pi$ - ничего не меняется), как и по $z$ можно рассмотреть "сверху до низу". Так это же есть и есть настоящие полярные коодинаты на плоскости. Что касается вырождения в нуле, так покроем наше "многообразие" еще и декартовой системой координат и дело с концом. А дальше уже топология..Покрываем чем угодно, абы попроще было.