Подскажите, к какому разделу математики относится задача

[crazzy]

Нужна помощь по тому, как сформулировать нижеприведенную задачу в математических терминах, также хотелось бы знать, к какому разделу математики эта задача относится, чтобы понять, в каком направлении копать.
Имеется функция $f(x)$. Функция гладкая и дифференцируемая сколь угодно раз. Используя эту функцию строим другую $g(a,b,c,d,x)=cf(ax+b)+d$; $a>1$, $d>1. При этом $a$,$b$,$c$,$d$ - вещественные. Нужно найти множество всех функций $h(x)$, таких, что $h(f(x))=h(g(a,b,c,d,x))$ для всех допустимых $a$, $b$, $c$, $d$. При этом в записи функции $h(x)$ не допускается использование этих $a$, $b$, $c$, $d$.
Заранее спасибо.

[paha]

Похоже, что на пространстве функций $f:X\to X$ действует некоторая группа преобразований $G\times G$ по правилу $(g,h). f (x)=g. f\circ h(x)$... тут $X=\mathbb{R}$, $G=Aff(\mathbb{R})$ -- группа аффинных преобразований прямой
это при $a,c\ne 0$

короче, смотреть теорию инвариантов (исследование функций на пространстве, инвариантных относительно действия группы)

[Munin]

Это где-то из школьной математики, алгебра и начала анализа. Взяв $a=c=1,$ $b=0$ и произвольную $d,$ получаем, что $h(f(x))=h(f(x)+d)$ для всех $d,$ то есть $h(x)$ может быть только константой, не зависящей от аргумента. Можно дать на внутришкольной олимпиаде для 7 класса, наверное.

[paha]

Munin
я думаю, $h$ -- функционал, иначе бессмысленный вопрос в стартовой теме

[Munin]

Поправка: с условием $a>1$ то же самое, с учётом того, что $f(x)$ можно взять в нуле. С условием $d>1$ получаем $h(x)$ постоянную только на полупрямой, но дальше можно придавать разные значения $c,$ и распространить эту постоянную на всю прямую.

-- 19.11.2010 17:40:12 --

paha в сообщении #377350 писал(а):

Munin
я думаю, $h$ -- функционал, иначе бессмысленный вопрос в стартовой теме

Посмотрим, что скажет автор.

[crazzy]

Попробую на более математическим языке описать
Смысл в том, что нужно найти такое правило преобразования одной функции в другую, чтобы любая функция, получаемая от исходной функции f(x) путем линейной замены аргумента с последующим растяжением и сдвигом по оси Y отображалась бы в одну и ту же функцию.

[Padawan]

Если можно производные использовать, т.е. $h(f)(x)=F(x,f(x),f'(x),\ldots,f^{(n)}(x))$, то это задача на нахождение дифференциальных инвариантов группы преобразований.

[paha]

crazzy в сообщении #377377 писал(а):

чтобы любая функция, получаемая от исходной функции f(x) путем линейной замены аргумента с последующим растяжением и сдвигом по оси Y отображалась бы в одну и ту же функцию.

так
Munin
уже ответил тогда: таких функций меньше, чем констант

значит: нет таких

[crazzy]

ок, тогда попробую переформулировать задачу

[Padawan]

crazzy
Может Вам поможет, не знаю, но если в выражении $\frac{y'y'''}{y''^2}$ сделать замену переменных $x_1=ax+b$, $y_1=cy+d$, то получится то же самое в новых переменных $\frac{y_1'y_1'''}{y_1''^2}$

[paha]

Padawan
производная Шварца?

[crazzy]

Неформальное описание (пример)
Допустим имеется некая функция $f(x)$, имеющая один глобальный минимум. Допустим для нее может быть определена некая операция $A(f(x),x_0,n), n \in \mathbb{N}$, которая описывается так: "взять координату $y$ n-го локального минимума, ближайшего по оси x к глобальному". Теперь мы вычисляем q = A(g(x),x_0,3) - A(g(x),x_0,2), s = A(g(x),x_0,2) - A(g(x),x_0,1),$r = \frac{q}{s}$.
Если вычислять эту r для всех функций вида $g(x) = cf(ax+b)+d, c>1, a>1$, то обнаружится, что вне зависимости от того, какие взяты параметры $a,b,c,d$ мы всегда в результате вычислений будем получать одно и то же значение $r$.
Соответственно нужно найти как можно больше таких операторов над функцей $g$ (желательно все), которые дают один и тот же результат (либо число, либо функцию от $x$) вне зависимости от значений $a, b, c, d$

[Leox]

paha в сообщении #377346 писал(а):

Похоже, что на пространстве функций $f:X\to X$ действует некоторая группа преобразований $G\times G$ по правилу $(g,h). f (x)=g. f\circ h(x)$... тут $X=\mathbb{R}$, $G=Aff(\mathbb{R})$ -- группа аффинных преобразований прямой
это при $a,c\ne 0$

короче, смотреть теорию инвариантов (исследование функций на пространстве, инвариантных относительно действия группы)

кажется мне, что нет там никакого групового действия

[paha]

Leox в сообщении #377475 писал(а):

кажется мне, что нет там никакого групового действия

если $a,c\ne 0$, то в точности оно