Метод простых итераций

[redroza]

Найти методом простых итераций приближенное решение линейной системы.
$ \left\{ \begin{array}{l} 5,4$x_{1}-2,3$x_{2}+3,4$x_{3}=-3,5 \\ 4,2$x_{1}+1,7$x_{2}-2,3$x_{3}=2,7\\ 3,4$x_{1}+2,4$x_{2}+7,4$x_{3}=1,9 \\ \end{array} \right. $

Решение:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_{1}=0,43$x_{2}-0,63$x_{3}-0,65 \\ x_{2}=-2,47$x_{1}+1,35$x_{3}+1,59\\ x_{3}=-0,46$x_{1}-0,33$x_{2}+0,26 \\ \end{array} \right. x^(0)=\left( \begin{array}{cc} -0,65 \\ 1,59\\ 0,25 \end{array} \right) \left\{ \begin{array}{l} x_{1}^1=0,43*1,59-0,63*0,25-0,65=-0,12 \\ x_{2}^1=-2,47*(-0,65)+1,35*0,25+1,59=3,68\\ x_{3}^1=-0,46*(-0,65)-0,331,59+0,26=0,034 \\ \end{array} \right. x^(1)=\left( \begin{array}{cc} -0,12 \\ 3,68\\ 0,034 \end{array} \right) $
и т.д.
дальнейшие вычисления ни к чему не приводят. Что делать дальше, подскажите пожалуйста.И как проверить условие сходимости?

[ewert]

redroza в сообщении #376296 писал(а):

И как проверить условие сходимости?

Достаточным условием сходимости метода Якоби является диагональное преобладание исходной матрицы, здесь это условие грубо нарушается. Для разрешающей матрицы $B=\begin{pmatrix}0&0.4259&-0.6296\\-2.4706&0&1.3529\\-0.4595&-0.3243&0\end{pmatrix}$ достаточным условием сходимости является $\|B\|<1$, чего ни в одной из стандартных норм не наблюдается. Наконец, необходимым и достаточным условием является то, что все собственные числа матрицы $B$ по модулю меньше единицы, а тут это не так: $\lambda_1=0.2609+1.1858i$, $\lambda_2=0.2609-1.1858i$, $\lambda_3=-0.5219$. Так что увы, ничего со сходимостью не выйдет.

[TOTAL]

redroza в сообщении #376296 писал(а):

Найти методом простых итераций приближенное решение линейной системы.
$ \left\{ \begin{array}{l} 5,4$x_{1}-2,3$x_{2}+3,4$x_{3}=-3,5 \\ 4,2$x_{1}+1,7$x_{2}-2,3$x_{3}=2,7\\ 3,4$x_{1}+2,4$x_{2}+7,4$x_{3}=1,9 \\ \end{array} \right. $

Сначала от второго уравнения отнимите первое и прибавьте третье. И не округляйте до двух знаков, пусть компьютер сам округляет.

[redroza]

Спасибо.

TOTAL в сообщении #376306 писал(а):

Сначала от второго уравнения отнимите первое и прибавьте третье. И не округляйте до двух знаков, пусть компьютер сам округляет.

Тогда это получается метод Гауса?

[ewert]

redroza в сообщении #376309 писал(а):

Тогда это получается метод Гауса?

Нет, это лишь подготовительный трюк, который обеспечит диагональное преобладание (по столбцам) -- и, значит, дальнейшую сходимость метода Якоби. Жульничество, конечно.

[redroza]

Спасибо, попробую)

[redroza]

Вот что получилось, но ответ не сходится.
От второго уравнения отняла первое и прибавила третье:
$ \left\{ \begin{array}{l} 5,4$x_{1}-2,3$x_{2}+3,4$x_{3}=-3,5 \\ 2,2$x_{1}+6,4$x_{2}+1,7$x_{3}=1,1\\ 3,4$x_{1}+2,4$x_{2}+7,4$x_{3}=1,9 \\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} x_{1}=0,4259$x_{2}-0,6296$x_{3}-0,6482 \\ x_{2}=-0,3438$x_{1}-0,2656$x_{3}+0,1719\\ $x_{3}=-0,4596$x_{1}-0,3243$x_{2}+0,2568 \\ \end{array} \right.\\ Остальные вычисления делала в Excel \\ n ----- x1 ------------ x2 --------------- x3 \\ 0 -0.6482 0.1719 0.2568 \\ 1 -0.73666907 0.32654508 0.49896555 \\ 2 -0.823273161 0.292641576 0.489474535 \\ 3 -0.83173712 0.324936876 0.540272682 \\ 4 -0.849965065 0.314354798 0.533689351\\ 5 -0.850327107 0.322370098 0.545498683\\ 6 -0.854348546 0.319358009 0.543065716\\ 7 -0.854099599 0.321386776 0.545890789\\ 8 -0.855014213 0.320550848 0.545118444\\ 9 -0.854883966 0.321070428 0.545809892\\ 10 -0.855098013 0.320842 0.545581531\\ 11 -0.855051524 0.320976242 0.545753986\\ 12 -0.855102928 0.320914455 0.545689085\\ 13 -0.855088381 0.320949366 0.545732748\\ 14 -0.855101003 0.320932768 0.545714741\\ 15 -0.855096735 0.32094189 0.545725925\\ 16 -0.855099891 0.320937452 0.545721005\\ 17 -0.855098684 0.320939844 0.545723894\\ 18 -0.855099484 0.320938661 0.545722564\\ 19 -0.85509915 0.32093929 0.545723315\\ \\ Получается x_{1}=-0,855, x_{2}=0,3209 , x_{3}=0,5457. А должно быть x_{1}=0,018 x_{2}=1,3058, x_{3}=-0,1751. $
Где ошибка?

[TOTAL]

redroza в сообщении #376442 писал(а):

Где ошибка?

Например, неправильно записано второе уравнение.

[redroza]

Все разобралась, всем спасибо!