О целых тангенсах

[Sasha2]

Вот увидел на одном форуме:

Есть такой треугольник, у которого тангенсы всех углов - целые числа. Найти эти числа.

[Руст]

Если меньший угол х и его тангенс m, следующий угол у и его тангенс n, то m и n натуральные числа и tg(180-x-y)=(m+n)/(mn-1)=k должен быть целым, что возможно только при m=1,n=2, k=3 (учли упорядочивание m<=n<=k).

[Sasha2]

Ну вообщем я тоже пришел сперва к тому, что один из углов должен быть равен 45 градусам. Так как меньший угол не больше 60 градусов. А следовательно его тангенс меньше корня из трех. А в силу того, что он целый возможно только одно решение - 45 градусов. Ну а далее все понятно.

[ИСН]

Знал эту же задачу раньше, но в профиль: найти arctg 1 + arctg 2 + arctg 3

[Sasha2]

А если усложнить задачу и спросить так:

А существует ли такой четырехугольник, в котором нет ни одного прямого угла, такй, что тангенсы всех его углов целые числа?

Прошу прощения, но пусть более опытные товарищи подскажут корректнную формулировку этой задачи. Может быть я и не совсем корректно сформулировал.

[ИСН]

Существует. Из двух таких треугольников складывается на раз.
(есть и другие, разумеется. И их полно.)