Аксиома бесконечности

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #375052 писал(а):

Конечно, аксиома "Существует пустое множество" выглядит сильнее (что плохо)

MetaMorphy в сообщении #375113 писал(а):

Непонятно, чем плохо постулировать существование именно пустого, а не какого-либо, множества в данном случае.

Надо быть аккуратным (причем мне). Я имел в виду, что сильная аксиома - это плохо. Чем слабее аксиома, тем лучше. А к самому предложению "Существует пустое множество" у меня просто душевное расположение. Для этого есть и дополнительная причина: пустое множество единственно.

[MetaMorphy]

Я как раз про то, что сильная аксиома - это не плохо, если:
1) она вытекает из остальных аксиом рассматриваемой теории;
2) её наличие упрощает построение расширений этой теории.

[Виктор Викторов]

MetaMorphy в сообщении #375130 писал(а):

Я как раз про то, что сильная аксиома - это не плохо, если:
1) она вытекает из остальных аксиом рассматриваемой теории;
2) её наличие упрощает построение расширений этой теории.

1) Если "вытекает из остальных аксиом", то какая же она аксиома?
2) "Духу аксиоматического метода присуще стремление к ослаблению отдельных аксиоматических утверждений;" Абрахам Френкель, Иегоша
Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 51.

[MetaMorphy]

Видимо, всё-таки зря я стёр свой ответ. Возьмите Гёделевское доказательство независимости аксиомы выбора и попытайтесь адаптировать его к случаю, когда существование пустого множества не постулируется. Понятное дело, что успеха вы добьётесь, но некоторое количество технических трудностей придётся преодолеть.

Хотя незначительное. Несколько слов дописать, так сказать)

Насчёт 1) забыл добавить "и это позволяет заменить ею другую".

Вообще, весь разговор об этом - в данном случае мелочь, это просто вопрос удобства. Бывают и другие ситуации, тому масса примеров (знаменитый пример - аксиомы определения векторного пространства, которые преподаются в количестве 8-ми штук, хотя этот набор можно сократить до 6-ти - но надо ли?)

[Виктор Викторов]

MetaMorphy в сообщении #375142 писал(а):

Возьмите Гёделевское доказательство независимости аксиомы выбора и попытайтесь адаптировать его к случаю, когда существование пустого множества не постулируется.

Зачем? Пустое множество уже есть к моменту введения аксиомы выбора.

Xaositect в сообщении #374672 писал(а):

А существование пустого множества легко вывести из существования хоть одного множества $M$, аксиом пары и выделения: $\varnothing = \{x\in \{M,M\}|x\neq x\}$

Виктор Викторов в сообщении #374679 писал(а):

Френкель выделяет пустое множество из "любого $a$" с помощью предиката $x\neq x$, а в это время ни одного множества ещё не существует. Выделять надо по аксиоме выделения из уже существующего множества.

[MetaMorphy]

Виктор Викторов в сообщении #375149 писал(а):

Зачем? Пустое множество уже есть к моменту введения аксиомы выбора.

Затем, что в его доказательстве строится внутренняя модель теории множеств, в которой приходится доказывать выполнение всего вороха аксиом исходной теории.

Опять же хочу сказать, что разница на самом деле незначительна, поэтому дискуссию продолжать не стану. Не знаю, какой из вариантов проще - постулировать существование какого-нибудь множества вообще или конкретно пустого - в последнем случае надо доказать, что пустое останется пустым, а в первом потребуется найти пример множества в получающейся модели. Пустое множество построить никто не запрещает, но выполнение аксиом подстановки уже надо доказать, а пустого множества ещё нет... Понятно, как выйти из затруднения, но вы сами видите результат)

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374819 писал(а):

Цитата:

Поскольку все равно придется откуда-то "со стороны" брать одно множество, то нельзя ли ввести пустое множество отдельной аксиомой?

Можно, иногда так делают.

Xaositect в сообщении #374822 писал(а):

Учебник Колмогорова-Драгалина, учебник Мендельсона(там, правда, NBG, а не ZFC, но они похожи), "Теория множеств и континуум-гипотеза" Коэна.

Посмотрел я учебник Колмогорова-Драгалина. Очень хорошая книга и в ней просто добавлена ещё одна аксиома, вводящая пустое множество. Почему же это не сделал сам Френкель?