иррациональное уравнение третья степень

[174]

Уравнение : (кубкор(х+4)-кубкор(х))(2-3кубкор(х(х+4))+1=0, где кубкор-кубический корень. Делала замену двух корней двумя переменными, свела к системе уравнений (а-в)(2-3ав)+1=0 и а^3-b^3=4, но она тоже не решается, помогите пожалуйста!

[gris]

Для начала поправим
$(\sqrt[3]{x+4}-\sqrt[3] x)(2-3\sqrt[3]{x(x+4)})+1=0$

[174]

да, да, именно так.

[gris]

Что, если скобки раскрыть и добить до куба разности?
Произведение разности на утроенное произведение это довольно прозрачный намёк.

[174]

Не получается, что делать с единицей?

[gris]

Вопрос - ту ли единицу Вы имеете в виду?
Но немного поболтаю за чашечкой кофе.
Сама по себе Ваша замена почти ничего не даёт, хотя это довольно эффективный первый шаг. Однако, посмотрим повнимательнее:

$(a-b)(2-3ab)+1=0$
$a^3-b^3=4$

Вспоминаем, где у нас есть кубы, утроенные произведения, разности?
Может быть умножить перрвое уравнение на 4 и сложить со вторым? Может быть захочется разложить разность кубов.
Попробуйте! А я пойду своим, вероятно менее эффективным путём. Наша задача объединить две переменные в одну. Либо выразить одну через другую.
Ещё формула - куб разности.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Её полезно знать в виде $=a^3-b^3 -3ab(a-b)$

Уже нечто знакомое. Раскроем-ка вторые скобки

$(a-b)(2-3ab)+1=2(a-b)-3ab(a-b)+1=0$

Как похоже на формулу сокращённого умножения. Не хватает разности кубов. Но она у нас есть! Прибавим к получившемуся уравнению второе уравнение Вашей системы! Я надеюсь, что Вы это проделали.
То есть теперь у нас везде торчит $(a-b)$. Сама по себе и в кубе. Обозначим же её $(a-b)=t$.
Ну вот, скоро и до единички доберёмся.
Интересно будет сравнить ответы!

[174]

у меня получилось -(1+квкор5)^3/8 или (квкор5-1)^3/8 , а у вас? Спасибо за подсказку!:-)

[gris]

Ничего не понять! А ведь и по правилам полагается писать довольно простые конструкции $-\frac18(1+\sqrt5)^3$ или $\frac18(-1+\sqrt5)^3$

[math]$-\frac18(1+\sqrt5)^3$[/math] или  [math]$\frac18(-1+\sqrt5)^3$[/math]

Ну если Вы не наделали арифметических ошибок, то это похоже на правду.