Аксиома бесконечности

[Виктор Викторов]

Обосновывая необходимость аксиомы бесконечности Френкель пишет, что аксиомы объемности, пары, объединения, множества-степени, выделения и выбора "обеспечивают существование лишь конечных множеств, хотя и получится, что существует бесконечно много множеств." А. Френкель И. Бар-Хиллел "Основания теории множеств" страница 106. Переводчики Ю. Гастев и А. Есенин-Вольпин почувствовали, что пахнет палёным и прокомментировали это место, что доказанное к этому моменту существование пустого множества недостаточно для доказательства существования бесконечного множества, т. к. "В доказательстве теоремы 1 (стр. 60) множество $a$ выбирается не на основании этих аксиом, но оно может быть введено в рассмотрение на основании теорем функционального исчисления ..." А. Френкель И. Бар-Хиллел "Основания теории множеств" страница 106. Теорема 1 - теорема о существовании пустого множества.
Но... Аксиома бесконечности начинается с принадлежности уже существующего пустого множества некоторому множеству $Z$. Но если пустое множество существует, то зачем мне нужна аксиома бесконечности?

[Xaositect]

Ну, существуют модели ZFC без аксиомы бесконечности, на которых аксиома бесконечности не выполняется.
Наследственно-конечные множества, например.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374645 писал(а):

Ну, существуют модели ZFC без аксиомы бесконечности, на которых аксиома бесконечности не выполняется.
Наследственно-конечные множества, например.

С одной стороны в каких книга об этом речь, а с другой стороны Френкель на странице 54 доказывает, что до введения аксиомы бесконечности, бесконечные множества построить нельзя. Но на странице 52, комментируя аксиому объединения, он говорит о бесконечных объединениях и (это еще не аксиомы бесконечности), но "что существует бесконечно много множеств" страница 106. И ещё один момент: если Френкель прав и без аксиомы бесконечности жизни нет, то как трактовать примечание Ю. Гастева и А. Есенин-Вольпина? Ведь для аксиомы бесконечности используется пустое множество, полученное "нечистым" путем?

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #374661 писал(а):

С одной стороны в каких книга об этом речь,

Ну это достаточно просто проверить руками. Я об этом читал в "Classical recursion theory" Одифредди, но не стал бы именно туда за этим отсылать.

ИМХО, вот это "обеспечивают существование лишь конечных множеств, хотя и получится, что существует бесконечно много множеств." - это неформальное основание для введения аксиомы бесконечности. А существование пустого множества легко вывести из существования хоть одного множества $M$, аксиом пары и выыделения: $\varnothing = \{x\in \{M,M\}|x\neq x\}$

Более конкретно, надо конкретно смотреть книги, сейчас я этого сделать не смогу, возможно, в понедельник.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374672 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #374661 писал(а):

С одной стороны в каких книга об этом речь,

Ну это достаточно просто проверить руками. Я об этом читал в "Classical recursion theory" Одифредди, но не стал бы именно туда за этим отсылать.

Спасибо.

Xaositect в сообщении #374672 писал(а):

ИМХО, вот это "обеспечивают существование лишь конечных множеств, хотя и получится, что существует бесконечно много множеств." - это неформальное основание для введения аксиомы бесконечности. А существование пустого множества легко вывести из существования хоть одного множества $M$, аксиом пары и выыделения: $\varnothing = \{x\in \{M,M\}|x\neq x\}$

Более конкретно, надо конкретно смотреть книги, сейчас я этого сделать не смогу, возможно, в понедельник.

Вот тут начинается склока. Френкель выделяет пустое множество из "любого $a$" с помощью предиката $x\neq x$, а в это время ни одного множества ещё не существует. Выделять надо по аксиоме выделения из уже существующего множества. Возникают нехорошие мысли о бароне Мюнхаузене.

[Виктор Викторов]

Полез я во второе (английское) издание Френкеля (1973 год) и на странице 39 нашёл примечание: "That there exists a set (or an object) at all does not follow directly from Axioms I-V, which only assert, at most, that if some set, or sets, exist then some other set exists. The existence of at least one set is a tacit assumption made at the point where it was decided to base set theory on the first-order predicate calculus and let the variables range over the sets. The first-order predicate calculus assumes non-emptiness of the range of values of the variables (the "universe of discourse") by allowing to infer "there is an $x$ such that..." from "for all $x$ ...". In addition, Axiom VI (of infinity) below asserts explicitly that some set exists."
Если кто-нибудь может прокомментировать "a tacit assumption", буду весьма благодарен. Что касается "In addition, Axiom VI (of infinity) below asserts explicitly that some set exists", то тут мы уже пользуемся существованием пустого множества!

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #374679 писал(а):

Выделять надо по аксиоме выделения из уже существующего множества. Возникают нехорошие мысли о бароне Мюнхаузене.

Ах, вот оно как.
То есть нет явной аксиомы о том, что существует хоть одно множество.
Ну они в принципе могли исходить из того, что у нас случай нетривиальный, и хотя бы одно множество есть. Это иногда явно в аксиомы не пишут, предполагая, что пустую модель мы не рассматриваем.

-- Сб ноя 13, 2010 22:24:17 --

Виктор Викторов в сообщении #374779 писал(а):

Если кто-нибудь может прокомментировать "a tacit assumption", буду весьма благодарен.

Рассматривать теорию, в которой вообще нет множеств - неинтересно :)

Виктор Викторов в сообщении #374779 писал(а):

Что касается "In addition, Axiom VI (of infinity) below asserts explicitly that some set exists", то тут мы уже пользуемся существованием пустого множества!

Тут надо смотреть, как оно в полностью формализованном виде будет выглядеть. Вообще говоря, аксиома бесконечности для своей формулировки существования пустого множества не требует:
$Null(x) \equiv \forall z: z\notin x$
$Inf(x) \equiv (\forall y: Null(y)\to y\in x)\& (\forall z: z\in x\to z\cup \{z\}\in x)$
А аксиома бесконечности будет утверждать, что $\exists c: Inf(c)$. При этом, вообще говоря, $\exists n: Null(n)$ не предполагается, но выводится, потому что из $\exists c: Inf(c)$ следует, что вообще какое-то множество существует.

Но опять же говорю, я не знаю, что там конкретно у Френкеля - Бар-Хиллела написано.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374780 писал(а):

Но опять же говорю, я не знаю, что там конкретно у Френкеля - Бар-Хиллела написано.

"AXIOM OF INFINITY VIa. There exists at least one set $Z$ with the following properties
(i) $O\in Z$
(ii) if $x\in Z$, also $\left\{x \right\}\in Z$." Стр. 46.

Xaositect в сообщении #374780 писал(а):

Вообще говоря, аксиома бесконечности для своей формулировки существования пустого множества не требует:
$Null(x) \equiv \forall z: z\notin x$
$Inf(x) \equiv (\forall y: Null(y)\to y\in x)\& (\forall z: z\in x\to z\cup \{z\}\in x)$
А аксиома бесконечности будет утверждать, что $\exists c: Inf(c)$. При этом, вообще говоря, $\exists n: Null(n)$ не предполагается, но выводится, потому что из $\exists c: Inf(c)$ следует, что вообще какое-то множество существует.

Есть на той же странице и этот вариант, но выглядит он так:
"AXIOM OF INFINITY VIb. There exists at least one set $Z_1$ with the following properties
(iii) $O\in Z_1$
(iv) if $x\in Z_1$, also $(x\cup \left\{x \right\})\in Z_1$." Стр. 46.

Xaositect в сообщении #374780 писал(а):

Рассматривать теорию, в которой вообще нет множеств - неинтересно :)

Т. е. мы допускаем одно "нечистое" множество?

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374780 писал(а):

Рассматривать теорию, в которой вообще нет множеств - неинтересно :)

Поскольку все равно придется откуда-то "со стороны" брать одно множество, то нельзя ли ввести пустое множество отдельной аксиомой?

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #374797 писал(а):

Xaositect в сообщении #374780 писал(а):

Вообще говоря, аксиома бесконечности для своей формулировки существования пустого множества не требует:
$Null(x) \equiv \forall z: z\notin x$
$Inf(x) \equiv (\forall y: Null(y)\to y\in x)\& (\forall z: z\in x\to z\cup \{z\}\in x)$
А аксиома бесконечности будет утверждать, что $\exists c: Inf(c)$. При этом, вообще говоря, $\exists n: Null(n)$ не предполагается, но выводится, потому что из $\exists c: Inf(c)$ следует, что вообще какое-то множество существует.

Есть на той же странице и этот вариант, но выглядит он так:
"AXIOM OF INFINITY VIb. There exists at least one set $Z_1$ with the following properties
(iii) $O\in Z_1$
(iv) if $x\in Z_1$, also $(x\cup \left\{x \right\})\in Z_1$." Стр. 46.

Видимо да, неявно принимается аксиома о том, что что-то существует, из нее выводится существование $O$, а потом уже используется в формулировке аксиомы бесконечности.

Цитата:

Поскольку все равно придется откуда-то "со стороны" брать одно множество, то нельзя ли ввести пустое множество отдельной аксиомой?

Можно, иногда так делают.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374819 писал(а):

Цитата:

Поскольку все равно придется откуда-то "со стороны" брать одно множество, то нельзя ли ввести пустое множество отдельной аксиомой?

Можно, иногда так делают.

А где? В каких книжках?

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #374820 писал(а):

А где? В каких книжках?

Учебник Колмогорова-Драгалина, учебник Мендельсона(там, правда, NBG, а не ZFC, но они похожи), "Теория множеств и континуум-гипотеза" Коэна.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374822 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #374820 писал(а):

А где? В каких книжках?

Учебник Колмогорова-Драгалина, учебник Мендельсона(там, правда, NBG, а не ZFC, но они похожи), "Теория множеств и континуум-гипотеза" Коэна.

Спасибо! Две из трех у меня есть.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #374819 писал(а):

Цитата:

Поскольку все равно придется откуда-то "со стороны" брать одно множество, то нельзя ли ввести пустое множество отдельной аксиомой?

Можно, иногда так делают.

Я ещё раз прошерстил Френкеля. Получается, что он негласно ввел ещё одну аксиому: "Существует, по крайней мере, одно множество". Но почему негласно? Конечно, аксиома "Существует пустое множество" выглядит сильнее (что плохо), а из существования, по крайней мере, одно множества пустое множество выскакивает мгновенно. Но эти два предложения эквивалентны, т. к. из существования пустого множества следует существование, по крайней мере, одного множества.

[MetaMorphy]

Виктор Викторов: Написал было ответ, но подумал, что это, в общем-то, мелочь.

Непонятно, чем плохо постулировать существование именно пустого, а не какого-либо, множества в данном случае. Проблем в теории ZF(C) это (т.е. постулирование существования пустого множества) не вызывает, причину уже самостоятельно озвучили. А вот проблемы в доказательствах фактов непротиворечивости/независимости каких-либо "дополнительных аксиом" это (т.е. отказ от такого постулирования) может прибавить.