Дифференциальное уравнение первого порядка

[Ferd]

Здравствуйте!
Наткнулся на уравнение и не могу его сам решить.
Уравнение представляет из себя дифференциальное.
Порядок установил - порядок первый, так как одна функция содержит только первую производную.
Но решить такое не могу.
Помогите мне пожалуйста.
Найти требуется общее решение дифференциального уравнения первого порядка.
${2}\cdot{x}\cdot{e^{-x^2}}{dx}-{dy} = {0}$
Спасибо.

[Karde]

Если мои глаза не врут - это уравнение с разделёнными переменными.

$2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = dy$

ну а теперь интегрируем:

$\int 2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = \int dy$


$- \int e^{-x^2} d(-x^2) = \ y$

$y = - e^{-x^2} + C$

[Ferd]

Karde в сообщении #373371 писал(а):

Если мои глаза не врут - это уравнение с разделёнными переменными.

$2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = dy$ - это понятно

ну а теперь интегрируем:

$\int 2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = \int dy$ - это понятно


$- \int e^{-x^2} d(-x^2) = \ y$ Как Вы получили $d{(-x^2)}$ - Объясните пожалуйста подробно как получается $- \int e^{-x^2} d(-x^2) = \ y$?

$y = - e^{-x^2} + C$- Как Вы это получили можно подробнее?

Спасибо.

[Karde]

Ferd в сообщении #373373 писал(а):

Karde в сообщении #373371 писал(а):

Если мои глаза не врут - это уравнение с разделёнными переменными.

$2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = dy$ - это понятно

ну а теперь интегрируем:

$\int 2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = \int dy$ - это понятно


$- \int e^{-x^2} d(-x^2) = \ y$ Как Вы получили $d{(-x^2)}$ - Объясните пожалуйста подробно как получается $- \int e^{-x^2} d(-x^2) = \ y$?

$y = - e^{-x^2} + C$- Как Вы это получили можно подробнее?

Спасибо.

Как получил $d{(-x^2)}$.

Операция называется подведение под знак дифференциала:

$d{(-x^2)} = - 2 \cdot x \cdot dx$ по правилу дифференцирования, ну а дальше я просто заменил те данные которые были у меня в интеграле изначально, на те, которые были мне более удобны для интегрирования.

Ну а ответ - не более чем результат $-\int e^{-x^2} d(-x^2) = - e^{-x^2} + C = y$

[Ferd]

Karde
Куда у Вас ушло ${2}\cdot{x}$?
И почему под знак дифференциала Вы внесли именно ${-x^2}$ Чем Вы руководствовались при этом?
Вы получили $-\int e^{-x^2} d(-x^2) = - e^{-x^2} + C = y$ А распишите пожалуйста поподробнее что Вы делали какие операции произвели с интегралом?
Спасибо.

[Алексей К.]

Можно предположить следующее.
"Обозначу-ка я показатель экспоненты отдельной буковкой-функцией", подумал Karde.
И написал себе на черновичке $z(x)={-x^2}$.
"Тогда сразу вычислим $d\,z=-2x\,dx$" --- продолжил он думать. "И теперь":

$$\int 2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = \int e^{-x^2}\cdot(2x\,dx) = -\int \underbrace{e^{-x^2}}_{e^z}\cdot\underbrace{(-2x\,dx)}_{dz} =-\int e^z dz =-e^z+C=-e^{-x^2}+C.$$

Только Вам он расписал это, не заводя лишнюю буковку, что в столь простом случае вполне естественно.
Но раз уж это осталось непонятым, пробую переписать с лишней буковкой: может она Вам поможет понять всю хитроумность Вашего собеседника. Т.е. типа я пишу $dz$, а он пишет $d(-x^2)$ или $(-2x\,dx)$.

[Ferd]

Алексей К.
Прочитав Ваше объяснение я теперь понял немножко что что значит в данном решении.
Но до сих пор тайной для меня остаётся ещё вот что
$-\int \underbrace{e^{-x^2}}_{e^z}\cdot\underbrace{(-2x\,dx)}_{dz}$
Откуда здесь появляются эти минусы: один перед знаком интеграла, второй перед ${(-2x\,dx)}$ объясните пожалуйста каким образом это посчитать можно и исходя из каких соображений?
Спасибо.

[Алексей К.]

Ну просто он захотел вставить минус, чтобы превратить $(2xdx)$ точно-точно в $dz$, т.е. в $(-2xdx)$. Чтобы скомпенсировать вред, нанесённый этим минусом, он поставил ещё и минус перед интегралом. И всё вернулось на свои места. Это совсем простой трюк.

Я тоже иногда так делаю. Когда я варю борщ, я соль частично подменяю рассолом от огурцов (тем самым добавляю ароматы рассольных трав). И хотя рассол у меня без уксуса, некая кислота от огуречного брожения там присутствует. Ещё и помидоры дают свою кислинку.
Так вот, если с кислотой я нечаянно перебарщиваю, я бросаю в борщ пару кусочков сахара, и всё становится на свои места.
Примерно так же поступил и Karde с интегралом.

[Ferd]

Алексей К.
Теперь до меня дошло.Вы единственный человек на форуме, который так хорошо объяснили мне.
Спасибо ОГГГРОМММНЕЙЙЙЙШШШЕЕЕЕЕЕ!!!

[Gortaur]

Официант, еще сахару к борщу или занимательно о замене переменных в интеграле.

[Ferd]

Gortaur
Я уже понял всё, думаю это теперь уже лишнее.
Но если у Вас есть что добавить, то тогда можно ещё и о замене переменных в интеграле что-нибудь важное описать в контексте Нашего примера.
Спасибо!

[Алексей К.]

Ferd,

я, работая в столовой, не очень знаю, как сейчас устроено образование. Поэтому лишь предполагаю, что Вы перешли к диффурам, основательно подзабыв тему "просто интегрирование", возможно, годовой давности. Могу посоветовать её как-то освежить, причём в самых простых начальных вещах.

Пересмотрите, например, эту же задачу, но с подстановкой $w=x^2$. Без минуса. Промежуточные выкладки будут выглядеть по-другому, результат будет тот же. Задача, если не ошибаюсь, сведётся к $\int e^{-w}dw$. Сумеете ли Вы его взять?

Успехов.

[Ferd]

Алексей К.
Я попробую это сам проделать, но что ошибок не будет не гарантирую, но всё же:
$w=x^2$;
$d\,w=2x\,dx$;

$$\int 2\cdot{x\cdot{e^{-x^2}}dx} = \int e^{-x^2}\cdot(2x\,dx) = \int \underbrace{e^{x^2}}_{e^w}\cdot\underbrace{(2x\,dx)}_{dw} =\int e^w dw =e^w+C=e^{x^2}+C.$$

[Алексей К.]

Hack attempt!

[Ferd]

Алексей К.
Hack attempt!