Формула Маклорена

[Legioner93]

Представить формулой Маклорена с $o(x^5)$ функцию $f(x)=\ln{\frac{\sin{x}}{x}}$.
Формально я выписал $f(x)=-\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{180}+o(x^5)$. Но ведь если по-честному выписывать, то в формуле Маклорена требуется существование производных с первой по пятую! А в нуле они не существуют. Тогда как быть? Получается, что я выписал просто какую-ту штуку, которая выглядит как ряд Маклорена, но им не является.

[Xaositect]

можно доопределить эту функцию в нуле нулем, тогда они будут существовать.

[Joker_vD]

Нет. Это действительно ряд Маклорена, другое дело, что он не обязан сходиться к значению функции. По существу вопроса: вы правильно нашли производные? А то функции, доопределенные в точке устранимого разрыва — вещь хитрая.

[moscwicz]

Предупреждение за злостный оффтоп и переход на личности.
zhoraster

[Legioner93]

Доопределить нулем? А что, это мысль. Не знаю, подразумевалось ли это в задаче. Тогда встает другой вопрос: как доказать, что эта функция дифференцируема 5 раз (вообще говоря бесконечное число раз) в нуле? У меня пока не получилось. Не явно же выписывать все 5 штук (там трудно, наверное)!
to Joker_vD производные не находил вообще, в том то и дело. Сначала записал $\frac{\sin{x}}{x}=1-(\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^5))$, а потом подставил в $\ln{(1-t)}=-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}+o(t^3)$ (как оказалось, трех членов уже достаточно). В итоге и получил ответ. И пока остался для меня неясным вопрос, что же это я нашел.

[Joker_vD]

Почему-то на ум приходит только "Если каждая функция $u_k(x)$ имеет производную на сегменте $[a, b]$ и если ряд из производных $\sum\limits_{k=1}^\infty u'_k(x)$ сходится равномерно на сегменте $[a, b]$, а сам ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ сходится хотя бы в одной точке сегмента $[a, b]$, то ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ сходится равномерно на всем сегменте $[a, b]$ к некоторой сумме $S(x)$, причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте $[a, b]$ почленно, т.е. его сумма $S(x)$ имеет на сегменте $[a, b]$ производную, являющуюся суммой ряда из производных $\sum\limits_{k=1}^\infty u'_k(x)$."
Но это вроде не то, да и изучается аж в разделе функциональных рядов.

[ewert]

Legioner93 в сообщении #373345 писал(а):

оказалось, трех членов уже достаточно

Достаточно двух членов: $\ln(1-t)=-t-{t^2\over2}+O(t^{-3})$. Причём подставлять под квадрат достаточно только главный член в разложении синуса ${x^2\over6}$ -- всё остальное поглотится $O(x^{-6})$.

Legioner93 в сообщении #373345 писал(а):

И пока остался для меня неясным вопрос, что же это я нашел.

А вот как раз результат именно для доопределения в нуле Вы и нашли: правая часть $\frac{\sin{x}}{x}=1-(\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^5))$, в отличие от левой, имеет смысл и в нуле тоже, причём её значение в нуле получается именно предельным переходом.

Joker_vD в сообщении #373363 писал(а):

и если ряд из производных

Это задача не на ряд, а на формулу Маклорена, здесь ни о какой сходимости рядов и речи нет.

[Joker_vD]

ewert в сообщении #373406 писал(а):

Это задача не на ряд, а на формулу Маклорена, здесь ни о какой сходимости рядов и речи нет.

Я не спорю. Просто

ewert в сообщении #373406 писал(а):

А вот как раз результат именно для доопределения в нуле Вы и нашли: правая часть $\frac{\sin{x}}{x}=1-(\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{120}+o(x^5))$, в отличие от левой, имеет смысл и в нуле тоже, причём её значение в нуле получается именно предельным переходом.

что если бы правая часть была расходящимся рядом?

[ИСН]

Всё то же самое и было бы. В условии нет никаких слов, однокоренных со словом "сходимость".

[ewert]

Joker_vD в сообщении #373437 писал(а):

что если бы правая часть была расходящимся рядом?

В том всё и дело, что правая часть -- это никакой не ряд, а именно формула, с конечным количеством слагаемых.

Формула Тейлора -- существенно более общая и более простая вещь, чем ряд Тейлора.