уравнение пучка прямых

[spraux]

Как выводится формула для пучка прямых - прямых, проходящих через одну точку:
$k*(A_1*x+B_1*y+C1)+l*(A_2*x+B_2*y+C_2)=0$?

[Алексей К.]

Формула для пучка прямых, проходящих через точку $(x_0,y_0)$ проста и понятна:

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\tg\alpha\quad\Longrightarrow\quad (y-y_0)\cos\alpha - (x-x_0)\sin\alpha=0.$$

Вы приводите формулу для случая, когда эта некая общая точка определяется из уравнений двух прямых. Коэффициенты $k$ и $l$ какие-то надуманные (почему не $k$ и $1-k$, например?), или контекст дополнительный их навязывает.
Доказательство для именно Вашей формулировки типа такое:
1) подстановкой $x=x_0, y=y_0$ убеждаемся, что при любых $k$ и $l$ новая прямая тоже проходит через эту точку (при этом вычислять $(x_0,y_0)$ не надобно);
2) убеждаемся, что, меняя $k$ и $l$, можем получить любой наклон $\alpha$.

Предлагаю Вам убрать звёздочки-умножения из Ваших формул (пока кнопка ПРАВКА активна), ибо смотрятся они ужасно. Просто убрать, даже не менять на точечку.

-- 10 ноя 2010, 10:19 --

А некая идея, стоящая за этим, состоит в том, что мы берём одну прямую ($A_1x+B_1y+C_1=0$) "с весом" $k$, вторую "с весом" $l$. И как бы их "смешиваем".

[ewert]

spraux в сообщении #373027 писал(а):

Как выводится формула для пучка прямых - прямых, проходящих через одну точку:
$k*(A_1*x+B_1*y+C1)+l*(A_2*x+B_2*y+C_2)=0$?

$(A_1,B_1)$ и $(A_2,B_2)$ -- это векторы, задающие направления первой и второй прямой (т.е. перпендикуярные к ним). Вектор $k*(A_1,B_1)+l*(A_2,B_2)$ при произвольных $k$ и $l$ задаёт произвольное направление. Соответственно, произвольная прямая на плоскости задаётся уравнением $k*(A_1*x+B_1*y)+l*(A_2*x+B_2*y)+C=0$, а проходит ли она через точку пересечения двух исходных прямых -- зависит от выбора константы $C$, причём выбор этот однозначен. Ну так вариант $k*(A_1*x+B_1*y+C1)+l*(A_2*x+B_2*y+C_2)=0$ заведомо и подходит: в той самой точке пересечения каждое из двух слагаемых обращается в ноль.

[spraux]

спасибо