Условное Матожидание

[Gortaur]

Ребят, помогите: есть событие $A$ и величина $\xi\geq 0$ такие что $E[\xi]=1$ и $P(A)$ - известно. Как можно оценить сверху

$$ E[\xi I_A], $$

учитывая что $P(A)\approx 0$? Любые идеи подойдут.

В частности, верно ли что

$$ E[\xi I_A] = E[\xi|A]P(A)? $$

И если да, то как это доказать?

[Хорхе]

Разбираюсь, что я тут написал

[Gortaur]

Словом, это верно? отлично, может есть какие-нибудь предложения по оценке?

[Хорхе]

(Так это должно было звучать.)

Вообще часто это условное ожидание именно так и определяется.

Если определять его как значение $E[\xi|\sigma(\{A\})]$ на $A$, то эту формулу легко доказать по определению умо.

Предложений по оценке лучше, чем $P(A)\sup_{A}\xi$, Вы все равно здесь не услышите, если не конкретизируете задачу.

[Gortaur]

Хорошо, вот дополнительные сведения

$$ dX_t = \sigma(X_t)dw_t \quad X_0 = x, $$

$$ \xi = \exp\{\int\limits_0^T \sigma^2(X_t)dt - X_T\} $$

и
$A = \left\{\sup\limits_{t\leq T} |X_t | \geq \delta\right\}$.

[Хорхе]

$\delta$, надо полагать, большое?

-- Вт ноя 09, 2010 17:31:40 --

Ага, ну это просто. Сейчас попробуем: пусть $\int_0^T \sigma^2(X_t)dt=\eta$.

$$ E[\xi I_A]\le (E[I_A])^{1/2}(E[e^{2\eta - 2 X_T}])^{1/2}=e^{-x}P(A)^{1/2}. $$

Ничего объяснять не буду, думайте сами

Ну разве что, может быть, подскажу немного.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Почему-то у меня сильное чувство, что в экспоненте потеряна 1/2.

[Gortaur]

Ага, насколько я понимаю Вы использовали какое-нибудь из неравенств Чебышева или Минковского? И то, что там мартингал. Но то, что он мартингал - не значит, что и его квадрат тоже ((

[Хорхе]

Нет, это Вы плохо рассмотрели, я как раз сделал из него мартингал. Поэтому я и предположил, что там 1/2 отсутствует.

-- Вт ноя 09, 2010 20:23:47 --

Кстати, если нет 1/2, то эту оценку можно улучшить: оставить во втором сомножителе индикатор, заметить, что это мартинальная вероятность превысить некий барьер, а ее можно неплохо оценить, например, по Дубу.

[Gortaur]

Вы правы, в определении кси нужно одну вторую, опечатался. получается, что можно неравенство гельдера с любым показателем применить - все равно получается через степень вероятности и матожидание степени кси... спасибо за подсказку, потому что вычислять УМО или оценивать его было бы сложно.