тригонометрическое равенство.

[Korolyov.Pavel]

Уравнение выглядит так:

$$arcsin(C/sqrt(x^2+C^2))-(1/2)*b/x = 0$$

нужно найти x.


C - const;
b - const;
x>0;
b>0;
C>0;

что сдесь можно сделать?

[Алексей К.]

$$\arcsin\frac{C}{\sqrt{x^2+C^2}}-\frac12\cdot\frac bx = 0$$

Так?
(перед sqrt надо палочку ставить: \sqrt{аргумент}.

-- 09 ноя 2010, 01:05 --

Если я не ошибаюсь среди ночи, то это

$$\arctg\frac{C}{x}}-\frac12\cdot\frac bx = 0,$$

и сдесь решить можно только численно.

[EtCetera]

Можно воспользоваться такой заменой: $x=C\ctg\varphi$, где $\varphi\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, тогда исходное уравнение сводится к $\varphi-a\tg\varphi=0$, где $a=\dfrac{b}{2C}$ (с учетом условий $x>0$ и $C>0$). Последнее уравнение, впрочем, также решается только численно. Однако, если хочется быстро найти приблизительное значение корня, можно разложить тангенс в ряд и взять несколько первых членов. Например, если взять первые 2 члена: $\tg\varphi\approx\varphi+\dfrac{\varphi^3}{3}$, получим $\dfrac{a\varphi^2}{3}+(a-1)\approx 0$, откуда $\varphi\approx\sqrt{3\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}$ (предполагается, что $a>1$, т.е. $b>2C$). Окончательно получим $x\approx C\ctg\sqrt{3\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}=C\ctg\sqrt{3\left(1-\dfrac{2C}{b}\right)}$.