Олимпиада в школе - сложные задачи (6 класс)

[Eiktyrnir]

Уважаемые корифеи, умницы и умники и просто очень хорошие люди! Скажу честно и сразу - задаю вопрос по олимпиаде не от своего имени. Моя глубокоуважаемая мамуля взялась за олимпиаду и решила почти все задачи, кроме этих трех (честно скажу - я никакие задачи не решил бы из тех, что видел). Помогите пожалуйста кто чем может. Олимпиада за 6 класс - поэтому сложные решения наверное школьникам-шестиклассникам не очень подойдут, хотя честно говоря уже и без особой разницы - хоть какое-нибудь решение помогло.

1. Гирлянда состоит из $10$ последовательно соединенных лампочек. Ровно одна лампочка перегорела, но неизвестно какая. Для замены перегоревшей имеется только одна запасная исправная лампочка. Чтобы вывинтить лампочку, нужно 10 секунд, чтобы завинтить - тоже 10 секунд (временем на остальные действия можно пренебречь). За какое минимальное время можно найти перегоревшую лампочку.
Очень напоминает теорию вероятностей с числом размещений $1$ из $10$. Вот к примеру выбор любой лампочки из $10$-ти равновозможен, т.е. вероятность найти перегоревшую лампочку есть $\frac{1}{10}$. Теперь со временем - немного не ясно каким образом "привинтить". Т.е. если мы сразу найдем перегоревшую лампочку, то типа всего 20 минут, но если мы будем ее долго и упорно искать, то считай что помножить на $10$-ть таких попыток и получится, что максимальное время есть $200$ минут. Неужели правильный ответ это $20$ минут? Есть сомнения...

2. Подряд написаны числа $1, 2, 3, 4, 5, ..., 2010$. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?
Я так понимаю, что надо уловить закономерность с убыванием членов этого ряда... Вот ищу закономерность.
$1, 2, 3, 4, 5, ..., 2010$
$2, 4, 6, 8, ..., 2003, 2005, 2007, 2009$
$4, 8, 12, ..., 2003, 2007$
Далее это все "добро" где-то сходится на том самом единственном элементе который остается "при деле"... Но какой он?

3. На доске написаны числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. За один ход можно увеличить любое число из чисел на 3 или на 5. Какое минимальное число ходов нужно сделать, чтобы все числа стали равными?
Т.е. например я к $1$ прибавляю $5$ и получаю $6$, потом например к $2$ прибавляю $5$ получаю $7$, т.е. $1$ и $2$ пропали и из них вышло $6$ и $7$ (ну допустим) и так далее я иду до тех пор пока не получу все равные числа. Потом я к 9-ти могу прибавить $3$ и получить $12$, ну и по второму кругу уже ставшие $6$ и $7$ из них тоже получить $12$ (например) прибавлением два раза $3$-ки к $6$-ти и один раз $5$-ки к $7$-ми - тоже получаю $12$, ну и так далее делаю для каждого числа - добиваясь этого равенства. Хотя быть может лучше всех приравнивать к $14$ (так как $8$-ка при прибавлении двух троек дает $14$, а уже одна пятерка делает ее $13$, что "невыгодно" когда мы прибавляем к $9$-ке). Вообщем может есть какой рациональный алгоритм?

Уважаемые, дорогие корифеи - на вас одних надежда. Просто очень жаль - вчера моя любимая мама до 2-х часов ночи борола эти оставшиеся задачи (решив другие не менее сложные) и никак не получаются они. Подскажите или наведите - будьте так добры.

[MrDindows]

3. Для начала посмотрим, к какому минимальному числу можно свести тройку $7,8,9$.
Следует отметить, что мы можем увеличивать число на +3, +5, +6, +8, +9, +10, +11... и тд..
Тоесть если мы хотим сделать 3 числа, идущих подряд равными, минимально мы должны увеличивать на +10, +9, +8 соответственно.
Таким образом мы в конце должны сделать все числа равными 17.
Ну а дальше можно уже в ручную посчитать...
1+5+5+3+3=17
2+5+5+5=17
3+5+3+3+3=17
4+5+5+3=17
5+3+3+3+3=17
6+5+3+3=17
7+5+5=17
8+3+3+3=17
9+5+3=17

2. Вы неправильно записали то, что остаётся после первого шага.
2,4,6,8...(чётные числа)....2006,2008,2010.
Второй шаг:
4,8,12,16...(делятся на 4)...2004,2008
Третий шаг:
8,16,24...(делятся на 8)...2000,2008
и тд...
Тоесть останется здесь максимальная степень двойки: 1024

[mihiv]

2.После первого вычеркивания останутся четные числа:2,4,6,...,2004,2006,2008,2010 .

-- Вс ноя 07, 2010 23:01:30 --

[AlexandreII]

2. После 1-го вычеркивания остаются делящиеся на 2, после второго - на 4, после $n$-го - делящиеся на степень двойки. Какая наибольшая степень двойки не превосходит 2010? Ответ: 1024

[Lyosha]

Eiktyrnir в сообщении #372160 писал(а):

но если мы будем ее долго и упорно искать, то считай что помножить на $10$-ть таких попыток и получится, что максимальное время есть $200$ минут.

А почему $10$ попыток?В условии не сказано что гирлянда должна загореться.$180$ секунд вполне хватит.И почему "минут"?

[Toucan]

Обсуждение заочных и онлайн олимпиад запрещено правилами форума.
Тема закрыта. Если через пару недель останется интерес, напишите -- открою.