Просто доказать что передел равен дельта-функции.

[Bulinator]

Привет всем.

Надо доказать, что предел
$ \delta(x)=\lim\limits_{\alpha\mapsto\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{\pi x} $

У меня такое решение

$\lim\limits_{\alpha\mapsto\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{\sin(\alpha x)}{\pi x}dx=\lim\limits_{\alpha\mapsto\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\int\limits_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\cos{\lambda x} d{\lambda}}{2\pi } =\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\lim\limits_{\alpha\mapsto\infty}\int\limits_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\cos{\lambda x} d{\lambda}}{2\pi }$

То, что предел есть дельта функция показываю Фурье преобразованием любой функции f(x) и обратно. Т.е. в итоге получаем f(0).

Может есть что-нибудь попроще?

[ewert]

Bulinator в сообщении #372066 писал(а):

Может есть что-нибудь попроще?

Предложить что-то проще -- очень трудно, но зато можно взамен предложить хоть что-то правильное. Поскольку Ваши выкладки лишены смысла.

Разбейте на интеграл на два -- по отрезку $[-\delta;\delta]$ и по его внешности. Первый, в свою очередь, на два -- один получается из него заменой $f(x)$ на константу $f(0)$, а другой -- соответственно, на разность $f(x)-f(0)$. Докажите, что интеграл с константой сходится при $\alpha\to+\infty$ к $f(0)$, интеграл по двум неограниченным отрезкам -- к нулю, а интеграл от разности равномерно оценивается через $C\delta$ при всех достаточно малых $\delta$. Ну и склейте всё вместе стандартным приёмом "эпсилон-пополам" (т.е. в данном случае, конечно, "эпсилон на три").

[Bulinator]

ewert в сообщении #372082 писал(а):

Предложить что-то проще -- очень трудно, но зато можно взамен предложить хоть что-то правильное. Поскольку Ваши выкладки лишены смысла.

Почему лишены?

Для любого $f(x)$ имеем
$f_\omega=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\imath \pi\omega x}dx$
И обратно
$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\omega e^{2\imath \pi\omega x}d\omega=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x^\prime)dx^\prime\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi\imath\omega (x-x^\prime)}d\omega$
Второй интеграл обзываем дельта функцией $\delta(x-x^\prime)$.

Может я что-то не так делаю?

[ewert]

Bulinator в сообщении #372109 писал(а):

Может я что-то не так делаю?

Ну, строго говоря, я не знаю. Т.е. не знаю, что, в каком порядке и как вам определяли. Однако формальной связи между самым последним интегралом (по всей оси) и предельным переходом от интеграла по конечному промежутку (в предыдущем посте) как-то не вижу. По-моему, такая связь вот как раз Вашей задачкой и должна обуславливаться. (Ведь интеграл в обобщённых функциях -- это вовсе никакой не интеграл, а всего лишь жаргонное обозначение функционала.)

[Bulinator]

ewert в сообщении #372127 писал(а):

Однако формальной связи между самым последним интегралом (по всей оси) и предельным переходом от интеграла по конечному промежутку (в предыдущем посте) как-то не вижу.

Ну при преобразовании Фурье я писал экспоненту, чтобы не заморачиваться с косинусами. Интеграл по $\omega$ понимается в главном смысле, так что нечетная часть(синус в формуле Эйлера) исчезает и получается $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos{\omega x}d\omega$(с точностью до константы).

[ewert]

Bulinator в сообщении #372145 писал(а):

я писал экспоненту, чтобы не заморачиваться с косинусами.

Это-то само собой. Но я не вижу формальной связи между предельным переходом в предпоследнем посте и формальным преобразованием Фурье. Хотя (как уже сказано) я и не знаю логики вашего курса и формального определения преобразования Фурье над обобщёнными функциями.

[Bulinator]

ewert в сообщении #372162 писал(а):

формального определения преобразования Фурье над обобщёнными функциями.

А где тут преобразование над обобщенными функциями? f у нас хорошая функция, чтоб не делать лишних мозгодвижений можем даже предпологать ее абсолютно интегрируемой.

А предел я понимаю так.
Берем интеграл от $f(x)\frac{\sin{\alpha x}}{x}$, получаем что-то, зависящее от $\alpha$, которую в последствии и устремляем к бесконечности.

ewert в сообщении #372162 писал(а):

предельным переходом в предпоследнем посте и формальным преобразованием Фурье

А что вы назывете предельным переходом?

ewert в сообщении #372127 писал(а):

Однако формальной связи между самым последним интегралом (по всей оси) и предельным переходом от интеграла по конечному промежутку (в предыдущем посте) как-то не вижу.

Я правильно понимаю, вы имееете ввиду, что надо показать, что

$\lim\limits_{\alpha\mapsto\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\int\limits_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\cos{\lambda x} d{\lambda}}{2\pi }=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos{\lambda x} d{\lambda}}{2\pi }f(x)dx$
Это же вроде определение несобственного интеграла.
Или я Вас не так понял??

[ewert]

Я полагаю, что интеграл от чистого косинуса по всей оси -- не имеет ни малейшего смысла. До тех пор, пока ему тот смысл не предписан хоть каким-то образом (главное значение для этого, естественно, не годится).

[Bulinator]

ewert в сообщении #372177 писал(а):

Я полагаю, что интеграл от чистого косинуса по всей оси -- не имеет ни малейшего смысла.

Ааааа... Так вот Вы о чем.
Это понимается как интегральный оператор. Т.е. он имеет смысл только в подинтегральном выражении.

[ewert]

Bulinator в сообщении #372183 писал(а):

Это понимается как интегральный оператор.

Да не понимается он как интегральный оператор. Для интегрального оператора -- должна быть чётко определена область определения. А в курсе обобщённых функций интегральных операторов, в общем, и нет как класса.

Ладно, я понял, что мы с Вами говорим явно на разных языках, потому умолкаю. Однако же рекомендую присмотреться к моей самой первой рекомендации. Чего-то мне всё-таки кажется, что это -- вот ровно то, что от Вас и ожидалось.

Всё, молчу.

[Bulinator]

ewert в сообщении #372190 писал(а):

Да не понимается он как интегральный оператор

Ну может неправильно выразился.

ewert в сообщении #372190 писал(а):

адно, я понял, что мы с Вами говорим явно на разных языках, потому умолкаю.

В любом случае- большое спасибо.

(Оффтоп)

Сложно с математиками. Строгие такие :)