Нерелятивистская ракета.

[truth]

Здравствуйте.
Нужно найти зависимость скорости ракеты от времени, если ракета с начальной массой $m_0$ поднимается вертикально вверх в однородном поле тяжести
Земли (ускорение $g$). Скорость газовой струи относительно ракеты равна $u$. Расход массы за
единицу времени $k=-\frac{dm}{dt}$ постоянен.
Пробовал решать так.
Записываем закон сохранения импульса в системе отсчёта Земли: $dmu=-dvm$, откуда интегрированием по частям получаем формулу Циолковского: $m=m_0 \exp(-\frac{v}{u})$. Берём производную по времени: $k=m_0\frac{D(v)}{u}\exp(-\frac{v}{u})$. Пока всё законно, теперь, ввиду того,что когда ракета стартует, отношение $\frac{v}{u}$ стремиться к нулю, раскладываем экспоненту в ряд, не побаюсь этого слова, Маклорена, до первой степени, получаем вот такое уравнение: $D(v)=km_0(u+v)$, решение которого - $v=u(exp(km_0t) - 1)$.
Есть второй вариант, он чуточку длиннее, поэтому до поры приведу лишь его результат: $v=u\ln(\frac{m_0g}{ku(1+\frac{2gt}{u})^\frac{1}{2}})$, при условии, что $u>2gt$.
Насколько правильно решение?

[Munin]

В системе отсчёта Земли $m\,dv=-u\,dm-mg\,dt.$ А $m\,dv=-u\,dm$ только в свободно падающей системе отсчёта. Приводите, из чего и как второй вариант получили.