Вопрос по понятию минимальной сигма-алгебы

[Gecr]

Непонятно определение минимальной \sigma-алгебры: Минимальной \sigma-алгеброй, содержащий класс С, называется такая \sigma-алгебра \sigma(С), что С$С\subset\sigma$ и \sigma(С)$\subset$F
для любой \sigma-алгебры F, содержащей класс С.
Или другое определение: минимальная \sigma(С) равна пересечению всех \sigma-алгебр, содержащих класс С.
Теперь вопрос: пусть дан конечный класс подмножеств С. Почему существует более одной \sigma-алгебры для данного класса. Например на некотором пространстве дано три элемента :$A\cup B$$\cup C$=$\Omega$ Какие \sigma-алгебры можно составить ? Я пока вижу только одну: сами множества, с их дополнениями, все пространство $\Omega$ и пустое множество. Ведь раз есть минимальная \sigma-алгебра, значит \sigma-алгебр несколько.

[RIP]

$\sigma$-алгебр не обязательно несколько, а слово "минимальная" подразумевает ровно то, что в определении, не больше, ни меньше. Или Вы хотите сказать, что у одноточечных множеств не может быть минимального элемента?

[Someone]

Если минимальная $\sigma$-алгебра совпадает с алгеброй всех подмножеств, то, конечно, других $\sigma$-алгебр нет. А если минимальная $\sigma$-алгебра не совпадает с алгеброй всех подмножеств, то мы можем добавить к ней ещё множества и получить неминимальную $\sigma$-алгебру.

[PAV]

Для любого основного множества всегда существует сигма-алгебра, состоящая из всех его подмножеств (в некотором смысле, максимальная). Если она совпадает с минимальной сигма-алгеброй, порожденной некоторым семейством, то тогда других нет. Как правильно заметил RIP, минимальность и единственность никак не соотносятся.

Добавлено спустя 35 секунд:

Вах, меня Someone опередил.

[Gecr]

Так правильно ли я понямаю, что слово минимальная имеется ввиду для данного пространства ?

[PAV]

Gecr писал(а):

Так правильно ли я понямаю, что слово минимальная имеется ввиду для данного пространства ?

Оно означает, что меньшей сигма-алгебры не существует.

[Gecr]

PAV писал(а):

Gecr писал(а):

Так правильно ли я понямаю, что слово минимальная имеется ввиду для данного пространства ?

Оно означает, что меньшей сигма-алгебры не существует.

не существует где, в этом пространстве или для данного класса?

[PAV]

Если мы меняем пространство, то мы фактически меняем все, в том числе и систему множеств, которая порождает сигма-алгебру. Поэтому пространство предполагается зафиксированным и неизменным с самого начала.

[Gecr]

Я имею ввиду вот что: минимальная сигма-алгебра будет минимальной среди всех сигма-алгебр данного пространства или среди всех сигма-алгебр данного класса подмножеств?

[RIP]

Gecr писал(а):

Я имею ввиду вот что: минимальная сигма-алгебра будет минимальной среди всех сигма-алгебр данного пространства или среди всех сигма-алгебр данного класса подмножеств?

Среди всех сигма-алгебр данного пространства.

[finanzmaster]

Когда я начинал изучать сигма-алгебры, было очень полезно не лениться и выписывать примеры - хотя они уже в простейшем случае получаются громоздкими.

Простейший пример из теории вероятностей - пусть мы бросили монетку 2 раза, и

$$ \Omega $$

- наше пространство событий.

Рассмотрим следующий класс множеств - все события, в которых нам известен результат первого броска (а второго - нет). Как обычно, H = head (решка) и T = Tail(орёл). Тогда сигма-алгебра, содержащая этот класс и(!) порожденная им, будет выглядеть так:

$$ \eqalign{ & \sigma ((\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} ),} (\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} )} ) = \cr & (\emptyset ,\Omega ,(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} ),} (\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} )} ) \cr} $$

Очевидно, она включает в себя не все события (т.е. не все элементы пространства

$$ \Omega $$

).

"Максимальная" же сигма-алгебра (т.е. множество всех подмножеств омеги) такова:

$$ \sigma (\{ HH\} ,\{ HT\} ,\{ TH\} ,\{ TT\} ) = $$

$$ (\emptyset ,\Omega ,\{ HH\} ,\{ HT\} ,\{ TH\} ,\{ TT\} ,(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} ),} $$

$$ (\{ HH\} \bigcup {\{ TH\} ),(\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} ),} } $$

$$ (\{ HH\} \bigcup {\{ TT\} ),} (\{ HT\} \bigcup {\{ TH\} ),} (\{ HT\} \bigcup {\{ TT\} ),} $$

$$ (\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} \bigcup {\{ TH\} } ),(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} \bigcup {\{ TT\} } )} } $$

$$ (\{ HT\} \bigcup {\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} } ),} (\{ HH\} \bigcup {\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} } ))} $$

Как видите, 2-я сигма-алгебра включает в себя класс множеств, породивший 1-ю сигма-алгебру (и ее саму - тоже).

(при этом

$$ \eqalign{ & \Omega = \{ HH\} \bigcup {\{ HT\} )\bigcup {} } (\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} )} \cr & = \{ HH\} \bigcup {} \{ HT\} \bigcup {} \{ TH\} \bigcup {} \{ TT\} \cr} $$

)

P.S.
В финансовой математике сигма-алгебра часто интерпретируется как имеющаяся информация. В 1-м примере информация не полна - мы знаем результат только 1-го броска. Зато во 2-м - мы знаем все. Минимальная же сигма-алгебра:

$$ $$ (\emptyset ,\Omega ) $$

не содержит никакой информации (имеется в виду, конечно, "самая минимальная", а не минимальная - содержащая некий данный непустой класс множеств)

[Gecr]

RIP писал(а):

Gecr писал(а):

Я имею ввиду вот что: минимальная сигма-алгебра будет минимальной среди всех сигма-алгебр данного пространства или среди всех сигма-алгебр данного класса подмножеств?

Среди всех сигма-алгебр данного пространства.

Теперь понятно. Еще один вопрос по поводу теоремы: Если \sigma-алгебра F подмножеств пространства омега содержит конечное число элементов, то существует такое единственное F-измеримое разбиение пространства омега семейством непустых множеств {E1, ... ,En} , что F = \sigma{E1, ... ,En}.
Не понял, в чем суть теоремы: что означает запись в теореме F = \sigma{E1, ... ,En}. Что подразумевается под F, \sigma-алгебра?

[Brukvalub]

Вы же сами пишете:

Цитата:

Если \sigma-алгебра F подмножеств пространства..

, то есть сами отвечаете на свой вопрос.

[RIP]

Суть теоремы в том, что $E_j$ образуют разбиение пространства, т.е. попарно не пересекаются и в сумме исчерпывают всё пространство.
Запись означает, что F - сигма-алгебра, порожденная $E_j$.

[Gecr]

RIP писал(а):

Суть теоремы в том, что $E_j$ образуют разбиение пространства, т.е. попарно не пересекаются и в сумме исчерпывают всё пространство.
Запись означает, что F - сигма-алгебра, порожденная $E_j$.

Понятно, еще вопрос по куску теоремы: "Если \sigma-алгебра F подмножеств пространства омега содержит..." Здесь \sigma-алгебра F подмножеств пространства имеется ввиду любая на данном пространстве или одна конкретная?