Неметризуемость поточечной сходимости непрерывных функций

[MaximVD]

Здравствуйте!

В книге Хелемский А.Я. "Лекции по функциональному анализу" есть упражнение:
Показать, что поточечная сходимость в $C[0,1]$ не может быть задана метрикой.
И к нему дано указание: Если поточечная сходимость влечёт сходимость по некоторой метрике $d$, то можно показать, что для любой точки $t \in [0,1]$ и любого $\varepsilon > 0$ выполнено неравенство $d(y,0) < \varepsilon$, как только функция $y \in C[0,1]$ равна нулю вне достаточно малого отрезка $[t, t + h]$. Но тогда найдётся последовательность (например, среди функций с трапецивидными графиками), сходящаяся к нулю по метрике, но не поточечно.

Первую часть указания вроде удалось доказать. От противного, предположим, что существует точка $t_0 \in [0,1]$ и существует $\varepsilon > 0$ такие, что для любого $h > 0$ существует функция $y_h \in C[0,1]$ равная нулю вне $[t_0, t_0 + h]$ и такая, что $d(y_h, 0) \ge \varepsilon$. Возьмём убывающую и стремящуюся к нулю последовательность $\{ h_n \}$, для каждого $h_n$ существует $y_n \in C[0,1]$ равное нулю вне $[t_0, t_0 + h_n]$ и такое, что $d(y_n, 0) \ge \varepsilon$. Последовательность $y_n$ сходится к нулю поточечно, но не сходится по метрике, противоречие. (Правда, в моих рассуждениях приходится предполагать, что если $t_0 = 0$, то соответствующие $y$ должны быть равны нулю в нуле, иначе поточечной сходимости к нулю не будет).

А вот со второй частью проблемы. Придумать последовательность сходящуюся к нулю по метрике, но не поточечно не удаётся.

Подскажите и поправьте, если что не так, пожалуйста.

[paha]

либо я дурак, либо одно из двух...

разве поточечная сходимость в $C[0,1]$ -- это не в точности сходимость по $\max$-норме?

[id]

paha
Нет, это именно что сходимость последовательности значений в каждой точке.

MaximVD
Во второй части можно брать функции $f_n$ равные нулю вне $[0, \frac 1 n], \ f_n (0)=1$, линейные от $0$ до $\frac 1 n$. Вроде бы, если "первая часть" верна.

-- Вт ноя 02, 2010 02:09:28 --

Ну или по-другому, если случай $t=0$ сильно смущает.
Берем $t\neq 0$, для достаточно большого $n$ рассматриваем отрезок $[t,t+\frac 3 n]$, $f_1([t+\frac 1 n,t+\frac 2 n]) = 1, f_1(t)=f_1(t+\frac 3 n) = 0$, внутри $[t,t+\frac 3 n]$ достраиваем до трапеции, вне этого отрезка - 0.
Далее строим то же самое, только вместо $[t,t+\frac 3 n]$ берем некоторый $I_1 \subset [t+\frac 1 n,t+\frac 2 n]$, вместо $[t+\frac 1 n,t+\frac 2 n]$ берем аналогичным образом построенные сегмент $\subset I_1$. Ну и вместо $f_1$ строим $f_2$. $I_1$ выбираем так, чтобы $d(f_2,0)<0.5 d(f_1,0)$. Далее - аналогично.
Тогда $f_m$ будет сходиться к нулю по метрике но не поточечно, т.к. у "срединных отрезков" будет непустое пересечение.

[paha]

id в сообщении #369100 писал(а):

Тогда $f_m$ будет сходиться к нулю по метрике

насколько я понял, в той самой точке $t_0$, которая приналдежит пересечению

id в сообщении #369100 писал(а):

у "срединных отрезков" будет непустое пересечение.

будет $f_m(t_0)=1$... какая уж тут сходимость по метрике к нулю
$\rho(f_m,0)=\max_{t\in [0,1]}|f_m(t)|=1$????

-- Вт ноя 02, 2010 03:56:14 --

id в сообщении #369100 писал(а):

$I_1$ выбираем так, чтобы $d(f_2,0)<0.5 d(f_1,0)$

совершенно невероятно:

$$ \rho(f_1,f_2)=\max_{x\in{[0,1]}}|f_1(x)-f_2(x)|\ge |f_1(t+1/n)-f_2(t+1/n)|=1 $$

ведь по Вашему построению носитель функции $f_2$ лежит строго внутри отрезка $[t+1/n,t+2/n]$

[Padawan]

paha
Речь идет не о равномерной метрике, а о той предполагаемой метрике $d(f,g)$, сходимость по которой равносильна поточечной сходимости.

[moscwicz]

а вот где-то на этом форуме я видел пример последовательность $\{\cos nx\}$ не содержит подпоследовательности сходящейся поточечно, при этом по теореме Тихонова сама эта последовательность относительно компактна в топологии поточечной сходимости. С метризуемыми топологиями такого не бывает.

[MaximVD]

Всем большое спасибо!

-- Вт ноя 02, 2010 13:13:10 --

Всем большое спасибо!