Гиперболический аналог электромагнитного поля

Munin · 30/01/06 72407

Вот мне с самого начала интересно было определить такую "редукцию", которую описал ИгорЪ (взяв на себя работу Time), более-менее формально и конструктивно. Как я понимаю, выглядит она примерно следующим образом: мы имеем полноценные УМ в 4-мерии (и возможно, динамические уравнения для зарядов), но рассматриваем, как упростится задача при наложении каких-то ограничений на условия и решения.

Далее, как я понимаю ваше предложение, ИгорЪ, начинается всё с ограничения на правую часть: $j^i$ не должно зависеть от $t$ и $z.$ Это ещё не означает аналогичного ограничения на решения. На систему могут падать произвольные волны с произвольного направления. Чтобы от этого избавиться, можно потребовать ограниченности задачи и аналогичной независимости граничных условий, хотя эти два требования мне кажутся противоречивыми. Или явно оговорить независимость решений от тех же координат.

И наконец, мне кажется, результаты такой "редукции" будут зависеть от того, к какому конкретному исходному виду уравнений она применена: если к уравнениям Максвелла для поля - результат будет один, если к уравнениям, выраженным через потенциалы - результат будет другой. Впрочем, не уверен, что различия будут физические.

-- 28.10.2010 13:16:35 --

Time в сообщении #367116 писал(а):

Как перейти от тензора четырехмерного электромагнитного поля к двумерному векторному магнитному полю - я вообще не представляю.

С таким уровнем знаний зря вы вообще затеяли этот разговор. Заявить, что "тензорное представление мешает", надо же! :-)

Time · 31/08/09 940

ИгорЪ в сообщении #367107 писал(а):

Я подозреваю , что Time имеет, но не может выразить следуещее.
В обычной электростатике, в случае независимости распределения зарядов по одной из пространственных координат, задача нахождения полей сводится к двумерной - уравнению Лапласа, которое связано с условиями Коши-Римана и соответственно аналитическими функциями. Граничные условия можно менять конформными преобразованиями, что дает мощный метод решения этих задач.

Именно об этом я и написал в первом посте. Странно, что Вы так долго не могли увидеть этого.

ИгорЪ в сообщении #367107 писал(а):

По-видимомуTime хочет построить гиперболический аналог описанного сюжета. Если так, то это вполне студенческая задача, на дипломную работу потянет, правда подозреваю, что это давно сделано.

И об этом прямым текстом написано в головном посте. Хорошо, что после десятка уточнений Вы пришли к тому, что можно было бы сделать сразу. Что касается сложности, наконец, Вами воспринятой задачи, то она под силу даже не студентам, а хорошим старшеклассникам, во всяком случае те, что к нам этим летом приезжали на финслеровскую школу, с нею легко справлялись. А вот в отношении, что это "давно известно" - прошу привести не предположения, а прямые ссылки. А то как со скалярным полипроизведением для некоторых линейных финслеровых пространств (являющимся естественным обобщением обычных скалярных произведений) получается. Очень многие мои оппонетны совершенно справедливо отмечают, что эта конструкция совершенно тривиальна и МОГЛА БЫ придти в голову даже школьнику младших классов, однако с примерами описания этой конструкции хоть у школьников, хоть у академиков как то затрудняются.. Поэтому повторю просьбу: приведите, пожалуйста, примеры и ссылки по поводу "давно сделано".

ИгорЪ в сообщении #367107 писал(а):

В 4-мерном случае сигнатура соответствующей электродинамики будет с двумя минусами-при времени и при одной координате, что вряд ли интересно.

Вы как и со смыслом первого поста тут также ничего не поняли. У псевдоевклидова пространства четырех измерений с ЛЮБЫМ набором знаков в сигнатуре группа конформных преобразований 15-параметрическая. А я Вам говорил о переходе от двумерных гиперболических полей к их четырехмерным обобщениям в пространстве с такой же бесконечномерной группой конформных преобразований, что и на плоскости. Это в принципе не возможно (только при переходе к некоторым финслеровым пространства с метрикой связывающей четвертые степени компонент такое возможно). А строить абстрактную электродинамику в псевдоевклидовом пространстве с двумя плюсами в сигнатуре мне как и Вам не интересно.. Даже если из такой "электродинамики" при редукции до двух псевдоевклидовых измерений получается "моя" пара гиперболических полей. К тому же я говорю о гипотезе, что эта пара не менее реальна, чем пара их эллиптических аналогов. А в "Вашем" случае двувремени-двупространства вряд ли приходится говорить о гипотезе реальности таких гиперболических полей. Или предлагаете заменить метрику Минковского на такое симметризованное четырехмерное пространство-время, являющееся четырехмерным вариантом трехмерного времени-трехмерного пространства Бартини?

Munin · 30/01/06 72407

Time в сообщении #367116 писал(а):

Что касается редукции уравнений Максвелла к двум вариантам евклидова и псевдоевклидова двумерия, то более удобно, чем с тензором это сделать в формализме старой записи уравнений Максвелла (которая, кстати, была также получена на основе закономерностей которыми обладают гиперкомплексные числа, правда тогда это были кватернионы): http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-162.jpg

И что вам помешало сделать то же самое в виде $\frac{\partial}{\partial x}=0,$ $\frac{\partial}{\partial y}=0$ ?

-- 28.10.2010 13:22:20 --

Time в сообщении #367123 писал(а):

Именно об этом я и написал в первом посте. Странно, что Вы так долго не могли увидеть этого.

Надо было сразу прямо ответить на вопрос во втором посте, а не упоминать таинственную "редукцию", про которую никто, кроме вас, не слышал. Не странно, что когда вы выдумываете свои собственные словечки, их долго никто не понимает.

Time · 31/08/09 940

Munin
Как мне посоветовал в ЛС один из модераторов этого форума, отвечаю: "по не имеющим к обсуждаемой теме обстоятельствам не нахожу возможным ответить именно вам на ваши вопросы".

-- Чт окт 28, 2010 13:46:42 --

myhand в сообщении #367115 писал(а):

электростатика" (с одним пространственным измерением) - получается у Вас при редукции, как частный случай в "модели Швингера". Там нету, конечно, никакого уравнения Лапласа.

Правильно, нету. А из соображений математической симметрии, казалось бы, должны остаться уравнения двумерного Даламбера, являющиеся гиперболическими аналогами уравнения Лапласа. Именно это несоответствие и является причиной предлагаемых гипотез. Что бы убрать имеющуюся асимметрию предлагается от четырехмерного пространства Минковского с его естественными уравнениями Максвелла перейти к четырехмерному финслерову пространству-времени, в котором будут его собственные уравнения поля, причем такие, что бы при редукции до двух измерений получались как эллиптические, так и гиперболические уравнения Лапласа и Даламбера.

Цитата:

Автор прямо говорит, что имел в виду другое:

Time в сообщении #367018 писал(а):
случаи, когда "убираются" одна временнАя и одна пространственная координата, и поля остаются зависеть от двух пространственных координат

Но и тут все не так получается, как ему хочется - только частные варианты магнитостатики (см. формулы (2-3)).

Основная забота не о двумерной электро- и магнитостатике, а о ее двумерных гиперболических аналогах. При этом проблема, как мне видится, распадается на несколько достаточно независимых элементов.
1. Есть ли что то похожее на гиперболически потенциальные и гиперболически соленоидальные поля, отвечающие решениям двумерного уравнения Даламбера, в реальности?
(На сколько мне известно, источниковые поля такого типа, предполагается, что известны, а вот о вихревых гиперболических полях слышать не приходилось. Да и вообще словосочетание гиперболически потенциальное и гиперболически соленоидальное поле в отличие от их аналогов без приставки - я ни разу не слышал, э это не нормально.)
2. Переход от гиперболичеого двумерия к гиперболическому трех- и четырехмерию. Это, еще раз повторю, не псевдоевклидовы пространства, а финслеровы, причем с конкретной метрикой Бервальда-Моора над полем вещественных чисел.
3. Выяснить, можно ли из гиперболических пространств п.п.2 без рассмотрения их над полем комплексных чисел при определенных условиях при редукции до двух измерений получать двумерные эллиптические электро- и магнитостатические поля. Учитывая, что непрерывные нелинейные симметрии тут не заканчиваются на бесконечномерной конформной группе, ответ на последний вопрос далеко не такой тривиальный, как может на первый взгляд показаться. Ну да до этого еще далеко и есть с чем разбираться в более простых построениях.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

Time в сообщении #367116 писал(а):

Понял, что Вам мешает. Тензорное представление компонент электромагнитного поля не позволяет "вычеркнуть" время из раcсмотрения.

Все оно замечательно позволяет.

Вы упускаете из виду основное условие - "редуцированная" система имеет вид уравнений Максвелла (в варианте ИгорЪ или моем). Напомню их, чтобы ссылаться:
$\left\{\begin{array}{lll} \partial_i F^{ik} &=& 4\pi j^k \\ \partial_{[i}F_{jk]} &=& 0 \end{array}\right. \eqno{(5)}$
(Где квадратные скобки обозначают антисимметризацию индексов).

Time в сообщении #367116 писал(а):

Что касается редукции уравнений Максвелла к двум вариантам евклидова и псевдоевклидова двумерия, то более удобно, чем с тензором это сделать в формализме старой записи уравнений Максвелла

Не то что "более удобно". Вы получаете совершенно другой результат. В частности, "редуцированная" система не будет представлять собой систему уравнений Максвелла вида (5). Если Вы исключаете зависимость от одного пространственного измерения и времени - получаете некоторую смесь независимых решений электростатической и магнитостатической задач (совершенно разных, не связанных - общих только в требовании независимости решения от определенной координаты).

Time в сообщении #367116 писал(а):

http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-162.jpg

Тем не менее, Вы наконец-то пояснили, что с самого начало подразумевалось под "редукцией".
(Между прочим, оба Ваших примера "редукции" - буквально неверны. Особенно это "заметно" во втором случае $\partial_y =0,\; \partial_z = 0$ - там должна получиться именно что модель Швингера, "двумерная электродинамика", а не это.).

PS: Кстати, тут принято формулы оформлять в тексте сообщений. Для этого форум имеет поддержку ТeX.

Munin · 30/01/06 72407

Time в сообщении #367129 писал(а):

MuninКак мне посоветовал в ЛС один из модераторов этого форума, отвечаю: "по не имеющим к обсуждаемой теме обстоятельствам не нахожу возможным ответить именно вам на ваши вопросы".

Не нахожу возможным поверить, чтобы модератор этого форума учил вам, как обходить правила этого форума. Скорее всего, вы его неправильно поняли.

myhand в сообщении #367146 писал(а):

Между прочим, оба Ваших примера "редукции" - буквально неверны.

Чёрт, я как-то проглядел. Даже число уравнений не совпадает - на выходе должно тоже по восемь получаться.

Time · 31/08/09 940

myhand в сообщении #367146 писал(а):

Не то что "более удобно". Вы получаете совершенно другой результат. В частности, "редуцированная" система не будет представлять собой систему уравнений Максвелла вида (5).

Так я и не стремился получать именно "ваш" результат, равно как и то, что бы он "представлял собой систему уравнений Максвелла вида (5)". Меня вполне устраивал тот, что получил я и он представлял собой систему уравнений Максвелла того вида, что на моем рисунке. Мне и в голову не могло придти, что "ваши" тензорные уравнения Максвелла и "мои" дифференциальные в отношении перехода к двум измерениям могут давать различные результаты.

myhand в сообщении #367146 писал(а):

Если Вы исключаете зависимость от одного пространственного измерения и времени - получаете некоторую смесь независимых решений электростатической и магнитостатической задач (совершенно разных, не связанных - общих только в требовании независимости решения от определенной координаты).

А я разве где-то в головном посте выразился иначе?

myhand в сообщении #367146 писал(а):

Между прочим, оба Ваших примера "редукции" - буквально неверны. Особенно это "заметно" во втором случае

Охотно выслушаю объяснения, в чем именно оба мои примера "редукции" не верны. Только попробуйте объяснить эту неверность отталкиваясь от той формы записи уравнений Максвелла, что использовал я. Или факт неверности нужно обязательно базировать на том, что я рассматривал "не тот" вид уравнений Максвелла, который использовали Вы?

myhand в сообщении #367146 писал(а):

PS: Кстати, тут принято формулы оформлять в тексте сообщений. Для этого форум имеет поддержку ТeX.

Прошу прощения, больше не буду.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

Time в сообщении #367152 писал(а):

Охотно выслушаю объяснения, в чем именно оба мои примера "редукции" не верны. Только попробуйте объяснить эту неверность отталкиваясб от той формы записи уравнений Максвелла, что использовал я.

Охотно (позвольте только не захламлять формулы бессмысленными коэффициентами, положив $\epsilon=\mu=c = 1$ ).

Выпишем уравнения (5) покомпонентно:
${\rm rot}{\bf H} = \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} + 4\pi {\bf j}\eqno{(6)}$
${\rm rot}{\bf E} = -\frac{\partial {\bf H}}{\partial t}\eqno{(7)}$
${\rm div}{\bf E} = 4\pi \rho\eqno{(8)}$
${\rm div}{\bf H} = 0\eqno{(9)}$

1) В случае $\partial_y=\partial_z =0$ получаем из (6):
$0 = \frac{\partial E_x}{\partial t} + 4\pi j_x(t,x),\; -\frac{\partial H_z}{\partial x} = \frac{\partial E_y}{\partial t} + 4\pi j_y(t,x),\; \frac{\partial H_y}{\partial x} = \frac{\partial E_z}{\partial t}+ 4\pi j_z(t,x)$
из (7):
$0 = - \frac{\partial H_x}{\partial t},\; -\frac{\partial E_z}{\partial x} = -\frac{\partial H_y}{\partial t},\; \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\frac{\partial H_z}{\partial t}$
из (8):
$\frac{\partial E_x}{\partial x} = 4\pi \rho(t,x)$
из (9):
$\frac{\partial H_x}{\partial x} = 0$

Простите, нужно тыкать пальцем в различия с тем, что у Вас получилось для случая $\partial_y=\partial_z =0$ ? И что Ваша редуцированная система уравнений ломает все, что можно, в т.ч. и закон сохранения заряда. Но я готов воспринять Ваши анекдоты вида $\partial_t E_x = 0$ и $\partial_t H_x = 4\pi j$ как очень неудачную опечатку ;)

Собственно, если дополнительно потребовать $j_y = j_z = 0$ и $H_y = H_z = E_y = E_z = 0$ , то приходим к "двумерной электродинамике". Если этого не требовать - тренированный глаз отчетливо видит "уравнение Даламбера" для компонент $H_x,\,H_y$ и т.п.

2) Случай $\partial_t=\partial_z = 0$ . Уравнение (6) дает:
$\frac{\partial H_z}{\partial y} =4\pi j_x(x,y),\; -\frac{\partial H_z}{\partial x} = 4\pi j_y(x,y),\; \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} = 4\pi j_z(x,y)$
из (7):
$\frac{\partial E_z}{\partial y} = 0,\; -\frac{\partial E_z}{\partial x} = 0,\; \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = 0$
из (8):
$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} = 4\pi \rho(x,y)$
из (9):
$\frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} = 0$

Ваш вариант для данного случая верен. Хоть и лишь в частном случае $j_x=j_y = 0$ .

Time в сообщении #367129 писал(а):

myhand в сообщении #367115 писал(а):

электростатика" (с одним пространственным измерением) - получается у Вас при редукции, как частный случай в "модели Швингера". Там нету, конечно, никакого уравнения Лапласа.

Правильно, нету. А из соображений математической симметрии, казалось бы, должны остаться уравнения двумерного Даламбера, являющиеся гиперболическими аналогами уравнения Лапласа. Именно это несоответствие и является причиной предлагаемых гипотез.

Вот с этого момента стоит снова подробнее. Какие такие "соображения математической симметрии"?

Напомню что получается конкретно в том случае понимания редукции, о котором я писал в цитированном тексте:
$\frac{\partial E_x}{\partial x}= 4\pi \rho (t,x),\; \frac{\partial E_x}{\partial t} + 4\pi j_x(t,x) = 0 \eqno{(10)}$
Никакого уравнения Лапласа у нас, конечно, нету. Зато замечательно "есть" уравнение гиперболического типа, полностью аналогичное (4):
$\frac{\partial^2 E_x}{\partial t \partial x}= 4\pi \frac{\partial \rho (t,x)}{\partial t}\eqno{(11)}$
Так что различий в разных вариантах такой редукции размерности - нету.

Различие в какой-то степени проявляется в Вашем варианте редукции. Но может логично предположить, что дело в том, что Вы "ломаете" при этом уравнения Максвелла (я упоминал об этом здесь)?

Munin · 30/01/06 72407

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Вот с этого момента стоит снова подробнее. Какие такие "соображения математической симметрии"?

Ой, не стоит ему такие вопросы задавать. Это выключатель. В ответ на них польётся очень много невнятного текста. Вкратце, Time под симметрией понимает вовсе не то, что принято понимать, на что ему было многократно указано (и не мной, а другими людьми, которых он вроде как даже уважает, но их указания всё равно игнорирует).

Time · 31/08/09 940

quote="myhand в сообщении #367206"]Охотно[/quote]

Спасибо, я кое что понял..

myhand в сообщении #367206 писал(а):

1) В случае $\partial_y=\partial_z=0$ получаем из (6):

Теперь я целиком согласен, что именно "Ваш" вариант в случае $\partial_y=\partial_z=0$ следует из уравнений Максвелла.

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Простите, нужно тыкать пальцем в различия с тем, что у Вас получилось для случая $\partial_y=\partial_z=0$

Нет, теперь понятно. Признаю, что в данном аспекте был неправ.

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Но я готов воспринять Ваши анекдоты вида $\partial_tE_x=0$ и $\partial_tH_x=4\pi j$ как очень неудачную опечатку ;)

Да, виноват. В свое оправдание могу сказать только то, что не особенно заботился о правильном выписывании следствий редукции уравнений Максвелла именно для случая $\partial_y=\partial_z=0$ . Меня устраивало уже то, что в этом случае из уравнений Максвела не получалось зеркальной симметрии в отношении связи с аналитическими функциями на плоскости, пусть эта плоскость и псевдоевклидова, а аналитичность и функции гиперболические. Признаюсь, что в этом месте я схалтурил и смотрел не на последовательный вывод получающихся уравнений из уравнения Максвелла, а на те формулы, которые возникают, если по сути постулировать наличие на псевдоевклидовой плоскости пары неких двумерных двухкомпонентных векторных полей, причем таких, что бы их структура отвечала условиям h-голоморфности функций двойной переменной В ТОЧНОСТИ аналогично тому, как в случае $\partial_t=\partial_z=0$ остается пара векторных полей, отвечающая условиям голоморфности функций комплексной переменной. Позже я покажу, как из ТАКОЙ необычной гипотезы получились мои "неудачные опечатки". Я банально поленился посмотреть на следствия из самих уравнений Максвелла, и вместо этого воспользовался этими нововведенными уравнениями связанными с h-аналитичностью, чего не должен был делать. Впрочем, это все равно не оправдывает моей оплошности полностью..

myhand в сообщении #367206 писал(а):

2) Случай $\partial_t=\partial_z=0$ . Уравнение (6) дает:

Тут и у меня получилось, то что у Вас.

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Ваш вариант для данного случая верен. Хоть и лишь в частном случае $j_x=j_y=0$ .

Для моих целей (которые я преследовал в головном посте темы, и которые, смею надеяться, не пострадали кардинальным образом из-за оплошности с предыдущим рассмотренным случаем редукции) именно это и нужно.

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Вот с этого момента стоит снова подробнее. Какие такие "соображения математической симметрии"?

Вот именно это и есть самое главное, чего я хотел добиться от ситуаций на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Как Вы сами выше показали и я согласился с принципиальными уточнениями по поводу двумерной электродинамики, после редукции уравнений Максвелла на евклидовой плоскости остаются векторные поля аналогичные полям связанным с голоморфными функциями комплексной переменной, а на псевдоевклидовой плоскости h-голоморфные функции двойной переменной не получаются. Вместо этого остается существенно более тривиальное однокомпонентное элетрическое поле.
Кому как, а мне такое неравноправие в отношении двумерных ситуаций на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях представляется крайне несправедливым и заставляет искать выходы из этого положения, пусть даже на первых порах ценой очень необычных предположений. По сути, я рассуждаю от противного.. Допустим, что h-голоморфные векторные поля на псевдоевклидовой плоскости все же не бесполезный математический курьез, а имеет к реальной физике точно такое же отношение какое имеют обычные голоморфные функции комплексной переменной для двумерной евклидовой электро- и магнитостатики. Как выше мы разобрались, если такие поля даже есть в природе, они не могут быть двумерными следствиями обычного четырехмерного электромагнитного поля. Отсюда вывод - если "нужные" поля и есть, то они не электромагнитной природы. Можем мы, отталкиваясь от одной только математики попытаться угадать хотя бы некоторые основные свойства этих полей в четырехмерии, если предположим, что они есть, причем точь в точь такие как нам нужно, что бы при двумерной редукции до псевдоевклидовой плоскости они вели себя как поля связанные с h-голоморфными функциями двойной переменной? Уверен, что да, можем.. Другое дело, что в последующем может выясниться абсолютная несовместимость этих "новых" полей с физической реальностью, но пока будем считать, что подобная печальная переспектива наших умственных упражнений нас не заботит.
Итак. Следуя предложенной логике вводим в обиход умозрительной "физики" для случая двух пространственно-времеменых измерений два двухкомпонентных векторных поля $P$ и $G$ , таких что для них в отсутствии источников и стоков тождественно выполняются условия связанные с h-голоморфностью функций двойной переменной в ортонормированном базисе:
$\partial_tP_t+\partial_xP_x=4\pi q$
$\partial_tP_x+\partial_xP_t=0$
$\partial_tG_t+\partial_xG_x=0$
$\partial_tG_x+\partial_xG_t=4\pi w$ (1)
При этом сильно не задумываясь величину $q$ будем называть гиперболическим аналогом электрического заряда, или просто гипеболическим зарядом, а величину $w$ гиперболическим аналогом тока, или просто гиперболическим током. В принципе последнюю величину можно даже попробовать именовать гиперболическим магнитным зарядом или зарядом гиперболического магнитного монополя, впрочем, пока это не важно.
Что можно сказать об источниках "придуманных" нами двумерных полей? Ясно, что поскольку плоскость на которой они якобы существуют пространственно-временнАя, то это не
особые "двумерные частицы", а особые события двумерного пространства-времени, обладающие некой характеристикой или величиной гиперболического заряда. Если рассмотреть картину поля, создаваемого одиночным гиперболическим зарядом, то в соответствии с (1) напряженность поля будет иметь вид векторных радиальных линий, заполняющих псевдоевклидову плоскость, а эквипотенциальные линии этого поля будут ортогональны им (в псевдоевклидовом смысле, естественно) и представлять собой семейство концентрических гипербол с центром в точке-событии, где находится гиперболический заряд $q$ .
Аналогично можно поступить и с гиперболическими точечными вихрями (гиперболическими токами) $w$ . Только здесь "силовые" линии меняются местами с эквипотенциальными. Для точечного гиперболического вихря первые линии - концентрические гиперболы, а линии уровня - радиальные прямые.
Говоря о математической симметрии со случаем на комплексной плоскости я имел ввиду именно это.
Есть ли хоть малейший шанс, что бы пара полей с такими идеальными гиперболическими свойствами имелась не только в нашем математическом воображении, но и в физической реальности? Казалось бы нет. Игоръ, ранее предположил, что такая пара полей могла бы получиться при редукции "воображаемых уравнений Максвелла" пространства с сигнатурой (+,+,-,-), но в этом случае нам придется раз и навсегда забыть о пространстве-времени с сигнатурой (+,-,-,-), а вместе с этим и обо всем, что считается связанным с накопленным опытом и экспериментами. Ясно, что такая "жертва" для удовольствия видеть гиперболическую пару полей $P$ и $G$ среди реальных не только не оправдывает себя, но и попросту не возможна. Есть ли другой выход, благодаря которому можно было бы сохранить практически всю построенную на сегодня физику и оставить место для нового гиперболического поля, дающего в двумерии полную связь с h-голоморфными функциями двойной переменной? Уверен, что такой выход есть и даже не один. Понимаю, что со мной не согласится подавляющее большинство современных физиков, причем на стороне их скептицизма будут мои довольно слабые знания не только в физике, но даже в используемой математике. Разве можно без хорошего знания всего того, что накоплено за тысячелетия в этих двух областях естествознания надеяться на успех тех кардинальных изменений, которые неминуемо последуют, если тронуть нынешние представления о геометрии пространства-времени так, что бы появилось место для обсуждаемой пары гиперболических полей? Большинство уверенно посчитает, что таких шансов нет.
И все же, как не кажется смехотворной подобная вероятность, попробуйте максимально непредвзято рассмотреть ее. В конце концов, будучи практически неучем в обычной физике и математике, я без ложной скромности скажу, что на сегодня, возможно, лучше всех в мире ориентируюсь в образах финслеровой геометрии, связанной с гиперкомплексными четырехкомпонентными числами. Это действительно так, хотя бы потому, что именно я ее создал практически с нуля и постоянно присутствовал при исследованиях, проводившихся на протяжении двух десятков лет уже профессиональными физиками и математиками. Даже если кто-то и мысли не может допустить о подобном, пусть хотя бы притворятся, что к этому моему заявлению можно относиться более менее серьезно. Глядишь, такой шаг на встречу, обернется хоть некоторой пользой для них самих..
Итак. Я предлагаю ввести обсуждаемую пару гиперболических полей в реальную физику за счет жертвы метрикой Минковского и взятия вместо нее четырехмерной метрики Бервальда-Моора. Что бы такое предложение было воспринято хотя бы с осторожным согласием попробовать, на мой взгляд, важны две принципиальные вещи:
а - показать в опытах и экспериментах, что взятая из голой математики наша гипотетическая пара гиперболических полей действительно имеется в реальности и проявляет себя именно так, как подсказывают h-голоморфные функции двойной переменной;
и
б - показать, как из новой четырехмерной финслеровой геометрии пространства-времени получаются практически все (лучше вообще все) законы физики, которые сегодня принято связывать с совершенно иной геометрией Минковского.
Что касается первого. Наиболее простым мне представляется следующий путь. Поскольку зарядами гиперболического источникового поля являются особые, локализованные во времени и пространстве, события - нужно из всего множества происходящего в реальном Мире выбрать события наиболее удобные для экспериментов и, получив подтверждение, что одиночное такое событие порождает поле гиперболического точечного источника, начать экспериментировать с парами, тройками и т.д. событий, сравнивая результаты экспериментов с тем, что дают h-голоморфные функции. Ясно, что детекторами таких полей должны являться также события, только с малой величиной гиперболического заряда, что-то вроде пробных электрических зарядов, достаточно малых по сравнению с исследуемым полем, что бы не сильно возмущать его своим присутствием. Подобные эксперименты наша группа полгода назад начала подготавливать и надо подождать, что из этого может получиться. Если не выйдет ничего, появятся основания задуматься о беспочвенности обсуждаемой гипотезы.
Что касается второго. На сегодня уже много сделано, что показывает тесную связь четырехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора и пространства Минковского. К сожалению, не все. Однако оптимизм и вера в то, что все получится именно так "как нужно", подогреваются тем важнейшим обстоятельством, что непрерывные симметрии финслерова четырехмерного пространства в бесчисленное число раз превышают все, что можно выжать из пространства Минковского и даже из бесконечномерных гилбертовых пространств. В частности, у рассматриваемого четырехмерного (!) финслерова пространства бесконечномерная группа конформных преобразований, причем она включает в себя в качестве подгруппы бесконечномерную конформную группу двумерной псевдоевклидовой плоскости, то есть ту самую замечательную группу симметрий, вокруг которой так или иначе вертится, и современная теория суперструн, и современная конформная квантовая теория поля. На всякий случай, обращу внимание публики, что ни четырехмерное пространство Минковского, ни десятимерное или двадцатишестимерное пространство суперструн, сами по себе, не обладают этой конформной группой двумерной плоскости. Для того, что бы сходились концы с концами, народ использует одномерные по пространственной координате струны, поскольку тогда вместе с временнЫм измерением получаются "нужные" двумерные мировые поверхности, для которых использовать преимущества беконечномерной конформной группы более или менее логично, особенно, если не обращать внимание на диссонанс с конечномерной конформной группой всего многомерного пространства-времени.
В четырехмерном пространстве-времени с метрикой Бервальда-Моора, с группой двумерного подпространства все на много более благополучно, так как она просто является подгруппой более мощной группы, а не вылезает как черт из табакерки со своей бесконечной размерностью из пространства, имеющего конечномерную группу конформных симметрий.
Однако даже такая сильная конформная группа симметрий для четырехмерного Бервальда-Моора далеко не самая интересная. В других темах я немного писАл о естетсвенных для многомерных финслеровых пространств обобщениях базовых понятий геометрии, то есть об обобщениях длин и углов с мер фигур, задаваемых одним и двумя векторами, на меры фигур, задаваемых тремя и более векторами. Такие дополнительные метрические инварианты задают в четырехмерном Бервальде-Мооре существенно более сложные нелинейные преобразования, чем конформные, причем так, что последние являются их подгруппой. К сожалению, процесс изучения как самих таких дополнительных инвариантов, так и связанных с ними нелинейных симметрий сейчас пока не закончен и находится в полном разгаре. Поэтому выложить на стол железные аргументы, как из наличия таких дополнительных нелинейных симметрий следует вывод о полной взаимосвязи пространства Минковского и всех его свойств со свойствами пространства Бервальда-Моора - я сейчас не могу. Но и того, что уже получено в этом направлении, думаю достаточно, что бы хотя бы некоторые физики задумались о целесообразности среди прочего поглядывать и в "нашу" сторону. Хотя бы ради того, что бы потом не сильно обидно было, типа, находились рядом, но не разглядели..

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Так что различий в разных вариантах такой редукции размерности - нету.

Есть различия. В "Вашем" первом варианте получается однокомпонентное поле, причем одно, а для того, что бы действительно не было отличий, нужно, что бы и на псевдоевклидовой плоскости появлялось двухкомпонентное поле, причем не в единственном экземпляре, а в двух. В точности так, как следует из условий h-голоморфности функций двойной переменной. Именно такой гипотетический вариант я называю оправданным с позиций полной математической симметрии..

Ну и, наконец, по поводу "мого анекдота" и "неудачной опечатки"..

Вернемся к системе уравнений (1)

$\partial_tP_t+\partial_xP_x=4\pi q$
$\partial_tP_x+\partial_xP_t=0$
$\partial_tG_t+\partial_xG_x=0$
$\partial_tG_x+\partial_xG_t=4\pi w$

Если допустить, что соответствующие поля существуют, то их частным случаем оказываются соотношения:
$\partial_xP_x=4\pi q$
$\partial_tP_x=0$
$\partial_xG_x=0$
$\partial_xG_t=4\pi w$

Сравните с тем, что у меня было раньше в связи с неправильным вариантом редукции из уравнения Максвелла для двумерного случая без двух пространственных координат и, быть может, Вы немного более снисходительно посмотрите на "неудачную опечатку", которая, безусловно имела место, но, что называется, не со зла и даже не с перепоя..

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

Time в сообщении #367491 писал(а):

Как Вы сами выше показали и я согласился с принципиальными уточнениями по поводу двумерной электродинамики, после редукции уравнений Максвелла на евклидовой плоскости остаются векторные поля аналогичные полям связанным с голоморфными функциями комплексной переменной, а на псевдоевклидовой плоскости h-голоморфные функции двойной переменной не получаются. Вместо этого остается существенно более тривиальное однокомпонентное элетрическое поле.
Кому как, а мне такое неравноправие в отношении двумерных ситуаций на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях представляется крайне несправедливым и заставляет искать выходы из этого положения, пусть даже на первых порах ценой очень необычных предположений.

Хм, но ведь я явным образом показал совершенно другое (именно в случае Вашей редукции). Напомню:

myhand в сообщении #367206 писал(а):

Собственно, если дополнительно потребовать $j_y = j_z = 0$ и $H_y = H_z = E_y = E_z = 0$ , то приходим к "двумерной электродинамике". Если этого не требовать - тренированный глаз отчетливо видит "уравнение Даламбера" для компонент $H_x,\,H_y$ и т.п.

Аналогично, кое-что "дополнительно потребовать" приходится и во втором случае. Пока все эти дополнительные требования не станут частью Вашей процедуры редукции - говорить о какой-то асимметрии несколько преждевременно, не находите?

Так что буквально - в первом варианте у Вас "есть" уравнение Даламбера (исключить его можно только с помощью дополнительных телодвижений). Во втором - Лапласа. Не это Вы ожидали из "соображений симметрии"?

В общем, ИМХО - несколько преждевременно выглядят "необычные предположения". Может как раз таки вполне "обычные" предположения вполне себе позволят "найти выход".

Time в сообщении #367491 писал(а):

Для моих целей (которые я преследовал в головном посте темы, и которые, смею надеяться, не пострадали кардинальным образом из-за оплошности с предыдущим рассмотренным случаем редукции) именно это и нужно.

Я вот в этом не так уверен.

Time в сообщении #367491 писал(а):

показать в опытах и экспериментах, что взятая из голой математики наша гипотетическая пара гиперболических полей действительно имеется в реальности

Например, в каких экспериментах. Как что-то померять?

Кстати, если воспользоваться предложением ИгорЪ, получить решения уравнений поля в безумной сигнатуре типа $(1,1,-1,-1)$ - они будут плохо вести себя на пространственной бесконечности (грубо говоря, растут с удалением от источника). Полагаю, такая тенденция сохранится и у Вас. Конечно, я еще никак толком не знаю как конкретно поля "гиперболических источников" должно взаимодействовать с материей... Но должно быть явно что-то гораздо более хитрое, чем сила Лоренца.

Time в сообщении #367491 писал(а):

Есть различия. В "Вашем" первом варианте получается однокомпонентное поле, причем одно

Где различия? Сравните (4) и (11) - в чем отличия? И там и там - "однокомпонентные" поля, одинаковые уравнения. "Второй компоненте" здесь просто неоткуда взяться - двумерный тезор ЭМ поля имеет только одну независимую компоненту.

Что касается Вашего варианта редукции - тоже получаем похожие вещи. Для случая 1) волновые уравнения (для $H_y,H_z,E_y,E_z$ ) + 2 уравнения "одномерной" электродинамики. Для случая 2) - уравнения лапласа + 2 уравнения "одномерной" магнитостатики (см. (2-4)).

Time · 31/08/09 940

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Пока все эти дополнительные требования не станут частью Вашей процедуры редукции - говорить о какой-то асимметрии несколько преждевременно, не находите?

Я так не думаю. Да, согласен, проделать аккуратно, подробно и законченно процедуру редукции от четырехмерных уравнений Максвелла к двумерным частным случаям - точно не помешает. Но уже и так ясно, что никакой симметрии в двух возможных случаях нет. Если угодно, можно подойти с обратной стороны. Случаем симметричным голоморфным функциям на евклидовой плоскости являются h-голоморфные функции на псевдоевклидовой плоскости, причем так, что бы каждой функции комплексной переменной соответствовала одна и только одна функция двойной переменной и наоборот. Скажите, Вы видите хотябы гипотетически вариант, когда из уравнений Максвелла при редукции получаются поля, соответствующие h-голоморфным функциям двойной переменной?

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Так что буквально - в первом варианте у Вас "есть" уравнение Даламбера (исключить его можно только с помощью дополнительных телодвижений). Во втором - Лапласа. Не это Вы ожидали из "соображений симметрии"?

То, что "ваши" однокомпонентные поля $E_x$ удовлетворяют уравнению Даламбера, еще не делает ситуацию с двумя вариантами редукции полностью симметричной. На евклидовой то плоскости уравнению Лапласа удовлетворяют две двухкомпонентные функции, а на псевдоевклидовой фунция однокомпонентная. Ну какая это симметрия? Считайте желание видеть на псевдоевклидовой плоскости именно две двухкомпонентные функции - необходимым условием полной симметрии обеих вариантов редукции. Ясно, что в случае уравнений Максвелла, это исходное желание не выполняется. Более подробное рассмотрение не изменит этой ситуации. Лично я отсюда делаю вполне однозначный вывод, что если некие четырехмерные уравнения некоторого вида такое желание полной симметрии и исполняют, то такие уравнения точно не Максвелловские, а описываемое ими поле содержит не только электромагнитную составляющую, но и еще дополнительную пару (а то и более) полей. Что еще не менее важно, группа симметрий такой гипотетической системы уравнений для четырех измерений не 15-параметрическая, а бесконечномерная. Чем Вас такие выводы не устраивают?

myhand в сообщении #367503 писал(а):

В общем, ИМХО - несколько преждевременно выглядят "необычные предположения". Может как раз таки вполне "обычные" предположения вполне себе позволят "найти выход".

Я понимаю оправданность Вашего желания найти прозаическое объяснение, которое лучше всего искать в отсутствии самого парадокса, то есть, в отсутствии асимметрии двух вариантов редукции. Есть еще один вариант не заморачиваться поисками "необычных предположений" - это заявить, что так Мир устроен и так говорит опыт. Странно, что Вы такое "объяснение" не используете. Когда я даже очень хорошим физикам задавал вопросы, почему у всех многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств группы конформных симметрий конечномерные и лишь у двумерных бесконечнопараметрические, как правило следовала реакция, что так и должно быть и нет оснований не только искать ответ этой несправедливости в отношении непрерывных симметрий многомерных пространств, но даже не к чему искать пространства, являющиеся естественными обобщениями евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей на три и более измерений, у которых конформные группы так же бесконечномерные. Вы также считаете, что несовпадение мощности групп конформных симметрий у двумерных и многомерных квадратичных пространств нормально и можно не озадачиваться поисками путей преодоления имеющегося тут серьезного противоречия?

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Я вот в этом не так уверен.

Зайду с другой стороны. Скажите, Вы согласны, что во втором случае редукции получаются двумерные поля связанные непосредственно с голоморфными функциями комплексной переменной? И если да, то видите ли аналогичную связь полей в первом случае редукции с h-голоморфными функциями двойной переменной?

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Например, в каких экспериментах. Как что-то померять?

У меня есть предположение и даже некоторые основания полагать, что хорошим примером "двумерных" гипреболических зарядов являются разряды (взрывы) между двумя достаточно протяженными пластинами, зазор между которыми много меньше их размеров. Тогда единственная поперечная координата и координата времени с достаточной степенью точности моделируют псевдоевклидову плоскость. Если суметь отслеживать параметры таких разрядов по времени так, что бы $c\delta t$ ~ $\delta x$ , то есть, что бы световой конус на плоскости примерно совпадал с диагональю, то при достаточной мощности разрядов есть шанс обнаружить двухкомпонентную векторную структуру сопровождающих такой взрыв полей. Прежде всего, следует мерить равномерность хода времени в различных событиях вокруг гиперболического заряда, так как для появления двухкомпонентности нам нужно знать проекции наших векторных полей $P$ и $G$ на ось времени. Иными словами, для измерений потребуются очень хорошие часы, которые с одной стороны имеют высокую точность, а с другой позволяют замерять очень малые промежутки времени, а также отслеживать изменения в возникающих неравномерностях своего хода. Короче, если на евклидовой плоскости основным инструментом являлись линейки, то на псевдоеквклидовой таковыми должны являться часы и измеряемые ими интервалы.

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Кстати, если воспользоваться предложением ИгорЪ, получить решения уравнений поля в безумной сигнатуре типа (1,1,-1,-1) - они будут плохо вести себя на пространственной бесконечности (грубо говоря, растут с удалением от источника). Полагаю, такая тенденция сохранится и у Вас.

Прежде чем заниматься "безумной сигнатурой" у нас перед глазами самая обычная сигнатура двумерной плоскости (1,-1). Векторные поля в ней хоть и разнообразны в точности так же как и векторные поля связанные с аналитическими функциями комплексной переменной, действительно, часто "плохо" ведут себя на бесконечностях. Однако такова данность и с ней нужно работать. Кстати, бесконечная конформная группа при работе с такими бесконечностями сильно выручает, так как всегда можно бесконечную плоскость отобразить, скажем на внутреность единичного квадрата и банально "видеть", что творится на бесконечностях. Аналогичный прием возможен и в четырехмерии, правда только в том случае, если оно не "безумное" с псевдоевклидовой сигнатурой, а финслерово с метрикой Бервальда-Моора, так как только тут имеется бесконечная конформная группа аналогичная конформной группе плоскости.

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Где различия? Сравните (4) и (11) - в чем отличия? И там и там - "однокомпонентные" поля, одинаковые уравнения. "Второй компоненте" здесь просто неоткуда взяться - двумерный тезор ЭМ поля имеет только одну независимую компоненту.

Вот именно, что второй компоненте в первом случае редукции просто неоткуда взяться. Но ведь для второго случая она берется.. Именно то, что вместо двухкомпонентного поля на псевдоевклидовой плоскости получается лишь однокомпонентное, и вызывает у меня чувство несправедливой асимметрии. Добро еще, если б не было h-голоморфных функций двойной переменной, так ведь они ж есть, причем именно так устроены, что каждой аналитической функции комплексной переменной соответствует одна конкретная h-голоморфная функция от двойной переменной и наоборот. Где, спрашивается живут гиперболические аналоги элиптических векторных полей имеющихся в двумерной электро- и магнитостатике? Если таких принципиально нет, то почему? А если есть, почему они не обнаружены до сих пор и не используются наравне с обычными полями на комплексной плоскости?

myhand в сообщении #367503 писал(а):

Что касается Вашего варианта редукции - тоже получаем похожие вещи. Для случая 1) волновые уравнения + 2 уравнения "одномерной" электродинамики. Для случая 2) - уравнения лапласа + 2 уравнения "одномерной" магнитостатики (см. (2-4)).

Вы с поразительным упорством не хотите обращать внимание на то, что в первом случае у Вас волновое уравнение описывает однокомпонентное поле (хотя может запросто описывать и двухкомпонентные поля), а во стором случае уравнение лапласа описывает именно двухкомпонентные поля, причем сразу два взаимноортогональных.
h-голоморфные функции двойной переменной описывают как правило также двухкомпонентные поля, причем также подчиняющиеся уравнению Даламбера и также два взаимноортогональных поля. Как тут можно не замечать симметрии и как ее можно видеть там, где ее практически нет - я не понимаю..

Munin · 30/01/06 72407