Помогите разобраться: треугольник наименьшей площади

[_Student]

Доброй ночи всем!

Укажите такую точку на параболе $y=x^2+\frac14$ чтобы треугольник, образованный касательной, проходящей через данную точку, нормалью к ней и координатной осью Ox, имел минимальную площадь.

Вот моё решение:
$(x_0; y_0)$ --- точка, которая лежит на прямой и через которую проведена касательная, тогда уравнение касательной, проходящей через эту точку следующее: $y=2x_0x-x_0^2+1/4$. Теперь пусть $x_1, x_2$ --- точки, пересечения катетов треугольника с осью Ox. Тогда $(x_1; 0)$ удовлетворяет касательной, а $(x_2; 0)$ удовлетворяет прямой, перпендикулярной к касательной, т.е. след. прямой: $y=\frac{-1}{2x_0}x-(x_0)^2+\frac14$. (Подставим точки в уравнения и найдем$x_1, x_2.$) Далее проведем высоту $x_0x_3$, $x_3$ соответственно на оси Ox лежит, и её длина будет равняться $y_0$.
Площадь треугольника:

$$S=\frac12|x_1x_2||x_0x_3|=y_0\sqrt{(x_1-x_2)^2}=(x_0^2+\frac14)|2x_0^3-\frac1{8x_0}|.$$

Вот такая функция у меня получилась, но проблема в том, что у неё нет точек экстремума. Подскажите, пожалуйста, где ошибка в моих рассуждениях!

[Xaositect]

Ну, экстремум у нее есть, но Вы все равно где-то еще ошиблись, т.к. при $x = \frac{1}{2}$ по Вашей формуле получается $S = 0$

-- Пт окт 29, 2010 00:09:24 --

А, вот и ошибка:

_Student в сообщении #367466 писал(а):

уравнение касательной, проходящей через эту точку следующее: $y=2x_0x-x_0^2+1/4$.

$y = 2x_0x + x_0^2 + 1/4$

[_Student]

Уравнение касательной таково:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),$$

так?
Имеем:

$$f(x_0)=x_0^2+1/4$$

$$f'(x_0)=2x_0$$

Тогда: $y=x_0^2+\frac14+2x_0(x-x_0)=x_0^2+\frac14+2x_0x-2x_0^2=\frac14+2x_0x-x_0^2.$

[Xaositect]

Ой, действительно, я ошибся.
Значит ошибка дальше.
Уравнение нормали будет $-\frac{1}{2x_0}(x-x_0) + y_0 = -\frac{1}{2x_0} x + x_0^2 + 3/4$

[_Student]

Точняк, моя прямая не проходила через точку $(x_0; y_0).$ Всё понятно. Спасибо, Xaositect, большое!