Гамма функция

[NNDeaz]

Можно ли в Гамма функции выразить мнимую и вещественную часть? Тоесть в выражении

$$\Gamma(x + iy) = a + ib$$

Выразить a и b через x и y?
Кстати, если уж спрашиваю про гамма функцию, чему равен факториал i (мнимой единицы)

[arseniiv]

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел!

[caxap]

arseniiv в сообщении #366903 писал(а):

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел!

Ну формально можно считать $z!$ синонимом $\Gamma(1+z)$ для любых $z\in\mathbb C$. Вольфрам, к примеру, так и считает.

[Lesobrod]

Согласен с предыдущим сообщением;
а вот с основным вопросом Wolfram (причём 7 Desktop) что-то
молчит...Сейчас еще попробую всякие ComplexExpand[]..

-- Ср окт 27, 2010 23:09:45 --

Мда...С аналитикой не получилось.
Построил всякие картинки; оказалось, уже люди сделали:
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
Но и там нет явных формул для $Re$ и $Im$. Присоединяюсь к вопросу!

[mihiv]

Для $x>0,a=\int \limits ^{\infty }_0e^{-t}t^{x-1}\cos (y\ln t)dt,b=\int \limits ^{\infty } _{0}e^{-t}t^{x-1}\sin (y\ln t)dt$,это следует из представления $\Gamma (s)$ в виде интеграла,для нахождения $a$ и $b$ при $x\leq 0$ можно использовать соотношение $\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac {\pi }{\sin \pi s}$

[NNDeaz]

mihiv
Это только для вещественных чисел?

[mihiv]

Если аргумент гамма-функции комплексное число $s=x+iy$,то действительная и мнимая части гамма-функции выражаются этими формулами.

[ИСН]

Ога, только для вещественных x и y.

[RIP]

А что значит "выразить"? Чем не устраивает $a=\mathop{\mathrm{Re}}\Gamma(x+\mathrm iy)=\frac12\bigl(\Gamma(x+\mathrm iy)+\overline{\Gamma(x+\mathrm iy)}\bigr)=\frac12\bigl(\Gamma(x+\mathrm iy)+\Gamma(x-\mathrm iy)\bigr)$?