Правильный тетраэдр

[Edward_Tur]

Доказать, что тетраэдр правильный, если сумма его рёбер равна $4\sqrt 6 R$, где $R$ - радиус его описанной сферы.

[ewert]

Доказать, что сумма рёбер имеет локальный (по крайней мере) максимум на правильном тетраэдре, а любая другая конфигурация локального максимума не даёт.

[Edward_Tur]

Решение:
Пускай ${A_1}, \ldots ,{A_n}$- произвольные точки в пространстве, $G$ - их центроид. Для любой точки $M$ имеём:
$n \cdot \overrightarrow {MG} = \sum\limits_{k = 1}^n {\overrightarrow {M{A_k}} } $, или после возведения в квадрат: ${n^2} \cdot M{G^2} = n \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {MA_k^2 - } \sum\limits_{i < j}^n {{A_i}A_j^2} $.
Если точки ${A_1}, \ldots ,{A_n}$ лежат на одной сфере радиуса $R$, то, взяв в качестве точки $M$ центр сферы, получим
$\sum\limits_{i < j}^n {{A_i}A_j^2} = {n^2}{R^2} - {n^2} \cdot M{G^2} \le {n^2}{R^2}$, отсюда $\sum\limits_{i < j}^n {{A_i}{A_j}} \le \sqrt {C_n^2 \cdot \sum\limits_{i < j}^n {{A_i}A_j^2} } = \sqrt {C_n^2 \cdot {n^2}{R^2}} = nR\sqrt {\frac{{n(n - 1)}}{2}} $.

[Dimoniada]

Если в тетраэдре ц. описанной сферы совпадает с ц. тяжести, то он не обязательно правильный.
Извиняюсь, да, красивая и правильная цепочка рассуждений.