Неотрицательность интегрального оператора

[Phoenix100]

$A\colon L_2(0,1)\to L_2(0,1)$ интегральный оператор с ядром $K(x,y)\in L_2\left((0,1)^2\right)$. При каких условиях на
функцию $K(x,y)$ этот оператор будет неотрицательным? Вроде бы достаточным условием является то, что существует $M(x,y)$ такая, что $K(x,y)=\int\limits_0^1M(z,x)M(z,y)dz$. Является ли это условие необходимым?

[ewert]

Phoenix100 в сообщении #366645 писал(а):

Является ли это условие необходимым?

Оно даже и не достаточно, строго говоря: надо ещё добавить, что М вещественно (или заменить один из сомножителей на комплексно сопряжённый). Необходимым, естественно, это условие не будет, т.к. влечёт за собой симметричность оператора А.

Впрочем, обычно понятие "неотрицательность" определяется только для симметричных операторов. Тогда -- да, и необходимо (во всяком случае, учитывая компактность оператора А).

[Phoenix100]

Спасибо за ответ. Да, я не написал, я имел ввиду вещественный случай.
А можно ли как-нибудь явно выразить $M$ через $K$?

[shwedka]

Phoenix100 в сообщении #366722 писал(а):

Необходимым, естественно, это условие не будет, т.к. влечёт за собой симметричность оператора А.

До необходимости ОЧЕНЬ далеко. почитайте, например, книгу Гохберга-Крейна, 1., вторую главу.
Условие $K(x,y)\in L_2\left((0,1)^2\right)$ означает, что оператор принадлежит классу Гильберта-Шмидта. Известно, что, наоборот, все операторы ГШ- интегральные, с этим свойством ядра. Факторизация, которую предлгаете, означает, что $K$ ээто квадрат интегрюального оператора $M$. Чтобы это произведение было положительным оператором, необходимо и достаточно, чтобы $M$ принадлежал классу Шаттена $S_4$. вы такого условия не написали. Более того, точных условий принадлежности $S_4$ в терминах ядра не существует. Еще более того, оператор из $S_4$ - не обязательно интегральный.
Фактичекси, необходимым и достаточным условием является неотрицательност матрицы, составленной из значений ядра, почти всюду

$\mathbf{K}=(K(x_j,x_k))$
Для почти (по мере) любых конечных наборов точек $x_j$.

[Phoenix100]

shwedka в сообщении #366768 писал(а):

До необходимости ОЧЕНЬ далеко.

Я правильно понимаю, что если добавить условие симметричности оператора $A$, то необходимости всё равно не будет?

shwedka в сообщении #366768 писал(а):

Чтобы это произведение было положительным оператором, необходимо и достаточно, чтобы $M$ принадлежал классу Шаттена $S_4$. вы такого условия не написали.

Что такое класс Шаттена $S_4$ и/или где об этом можно почитать?

[quote="shwedka в сообщении #366768"]
Фактичекси, необходимым и достаточным условием является неотрицательност матрицы, составленной из значений ядра, почти всюду

$\mathbf{K}=(K(x_j,x_k))$
Для почти (по мере) любых конечных наборов точек $x_j$.[\quote]

Не понял какая мера имеется ввиду. Она ведь определена на множестве всех конечных наборов точек?

И ещё, выяснил, что необходимым и достаточным условием неотрицательности самосопряжённых вполне-непрерывных операторов является неотрицательность всех собственных значений. А есть ли какие-нибудь более простые достаточные условия неотрицательности такого оператора?

[shwedka]

Phoenix100 в сообщении #366814 писал(а):

Что такое класс Шаттена $S_4$ и/или где об этом можно почитать?

Книга Гохберга и Крейна. введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.

Phoenix100 в сообщении #366814 писал(а):

Я правильно понимаю, что если добавить условие симметричности оператора $A$, то необходимости всё равно не будет?

Не будет

Phoenix100 в сообщении #366814 писал(а):

Не понял какая мера имеется ввиду. Она ведь определена на множестве всех конечных наборов точек?

Мера Лебега для одной переменной порождает меру Лебега на множестве наборов-- продукт-мера

-- Ср окт 27, 2010 16:41:23 --

shwedka в сообщении #366825 писал(а):

А есть ли какие-нибудь более простые достаточные условия неотрицательности такого оператора?

Вот то, что я написала

[Phoenix100]

Спасибо! Вроде бы разобрался.